西南财经大学 2025年数学分析第5题
📝 题目
5、判断级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n \cos (n \pi)}{\sqrt{n^{3}-2 n+1}}$ 是否收敛，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简通项，识别交错级数
注意到 $\cos(n\pi) = (-1)^n$，因此原级数可改写为：
$$
\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{\sqrt{n^{3}-2n+1}}
$$
这是一个交错级数，其中 $a_n = \frac{n}{\sqrt{n^{3}-2n+1}} > 0$。
公式：\cos(n\pi) = (-1)^n
提示：注意 $n$ 从 $2$ 开始，避免分母为零或根号内为负。
步骤 2/5
目标：判断绝对收敛性——用极限比较法
考虑绝对值级数 $\sum_{n=2}^{\infty} a_n = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{n^{3}-2n+1}}$。
当 $n \to \infty$ 时，分母 $\sqrt{n^3-2n+1} \sim n^{3/2}$，故 $a_n \sim \frac{n}{n^{3/2}} = \frac{1}{n^{1/2}}$。
用极限比较法：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/\sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n\sqrt{n}}{\sqrt{n^3-2n+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{3/2}}{n^{3/2}\sqrt{1-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3}}} = 1
$$
由于 $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散（$p=1/2<1$），故绝对值级数发散，原级数不绝对收敛。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/\sqrt{n}} = 1
提示：极限比较法中，极限为正有限数时，两个级数同敛散。
步骤 3/5
目标：验证莱布尼茨判别法的条件（极限为0）
计算 $a_n$ 的极限：
$$
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^3-2n+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n^{3/2}\sqrt{1-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3}}} = 0
$$
满足莱布尼茨判别法的第一个条件。
公式：\lim_{n\to\infty} a_n = 0
提示：极限为0是交错级数收敛的必要条件。
步骤 4/5
目标：验证莱布尼茨判别法的条件（单调递减）
考虑 $a_n = \frac{n}{\sqrt{n^3-2n+1}}$。对于足够大的 $n$，$a_n \approx \frac{1}{\sqrt{n}}$，显然是递减的。严格证明可考虑函数 $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^3-2x+1}}$ 在 $x\geq 2$ 时的导数：
$$
f'(x) = \frac{\sqrt{x^3-2x+1} - x\cdot \frac{3x^2-2}{2\sqrt{x^3-2x+1}}}{x^3-2x+1} = \frac{2(x^3-2x+1) - x(3x^2-2)}{2(x^3-2x+1)^{3/2}} = \frac{-x^3 -2x +2}{2(x^3-2x+1)^{3/2}} < 0 \quad (x \geq 2)
$$
故 $a_n$ 从 $n=2$ 开始严格单调递减。满足莱布尼茨判别法的第二个条件。
公式：f'(x) = \frac{-x^3 -2x +2}{2(x^3-2x+1)^{3/2}} < 0
提示：单调性也可通过比较 $a_n$ 与 $a_{n+1}$ 的比值来验证。
步骤 5/5
目标：得出结论
由莱布尼茨判别法，交错级数 $\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n a_n$ 收敛。但绝对值级数发散，故原级数条件收敛。
提示：条件收敛是指级数本身收敛但绝对值级数发散。
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