西安交通大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1、设 $x_{n}>0, \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=1$ ，则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_{i}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将几何平均转化为指数形式
由几何平均的定义，有
\[
\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{1/n} = \exp\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i \right)
\]
因此，原极限问题转化为求
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i
\]
再取指数。
公式：\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i} = \exp\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i \right)
提示：注意指数与对数的互化，确保底数为自然常数e。
步骤 2/4
目标：利用已知极限条件求对数项的极限
已知 \(x_n > 0\) 且 \(\lim_{n \to \infty} x_n = 1\)，由对数函数 \(\ln x\) 在 \(x=1\) 处的连续性，可得
\[
\lim_{n \to \infty} \ln x_n = \ln 1 = 0
\]
即数列 \(\{\ln x_n\}\) 收敛于 0。
公式：\lim_{n \to \infty} \ln x_n = \ln\left( \lim_{n \to \infty} x_n \right) = \ln 1 = 0
提示：对数函数的连续性要求自变量趋于正数且函数在该点连续，此处 \(x_n \to 1\) 满足条件。
步骤 3/4
目标：应用算术平均极限定理
若数列 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(a\)，则其前 \(n\) 项的算术平均也收敛于 \(a\)。令 \(a_n = \ln x_n\)，由第二步知 \(a_n \to 0\)，因此
\[
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i \to 0 \quad (n \to \infty)
\]
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i = \lim_{n \to \infty} a_n \quad (\text{当 } \lim a_n \text{ 存在时})
提示：该定理是数列极限的基本性质，注意前提是数列收敛，否则结论不一定成立。
步骤 4/4
目标：回代指数形式得到原极限
由第三步得到
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0
\]
代入指数形式，并利用指数函数的连续性，得
\[
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i} = \exp(0) = 1
\]
公式：\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i} = e^{0} = 1
提示：指数函数在0处连续，因此极限可以移到指数内部。
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