📝 西安交通大学 2025年数学分析真题

1、设 $x_{n}>0, \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=1$ ，则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_{i}}=$ $\_\_\_\_$ ．

2、设 $f(x)=x^{2} e^{x}$ ，则 $f^{(10)}(0)=$ $\_\_\_\_$

3． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2^{x^{2}}+1}{2^{x}+1}\right)^{\frac{1}{x}}=$ $\_\_\_\_$ ．

4． $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$。

5、函数 $f(x, y)=x^{3}-x^{2}-x y+y^{2}$ 的极值点为 $\_\_\_\_$

6．已知 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则

$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}+\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}\right|_{(0,0)}=
$$

$\_\_\_\_$ ．

7、拉普拉斯算子 $\displaystyle \Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$ 在极坐标变换 $\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array}\right.$ ， $\theta \in[0,2 \pi]$ 下的表达式为 $\_\_\_\_$ ．

8．$\left(\partial \mathbb{Q}^{2}\right)^{\circ}=$ $\_\_\_\_$ $Y_{1}$ ．

9． $\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 4}\left(x^{2} \sin y+x \ln \left(1+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。

10、设 $C$ 为心脏线 $\rho=1+\cos \theta$ ，取正方向，则曲线积分

$$
I=\oint_{C}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(y+x^{2}\right) \mathrm{d} y=
$$

$\_\_\_\_$。

1、设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，证明：$f(x)=O(x),(x \rightarrow+\infty)$ ．

2、设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $(-1,1)$ 上收敛，且 $a_{n} \geq 0,(\forall n \in \mathbb{N})$ ，又设

$$
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=S \in \mathbb{R}
$$

证明：幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 收玫于 $S$ ．

3、设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n},(\forall n \geq 1)$ ，证明：$\left\{x_{n}\right\}$ 收玫。

4、设 $\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} \mathrm{~d} x, \alpha>0$ ，证明：
（1）$\Gamma(\alpha+1)=\alpha \Gamma(\alpha), \alpha>0$ ．
（2） $\ln (\Gamma(\alpha))$ 是凸函数．

5、设 $\mathbf{E}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的开集，函数 $f: \mathbf{E} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 与 $\mathbf{g}: \mathbf{E} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 均可微，设

$$
h(x)=\langle f(x), g(x)\rangle
$$

为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的内积，证明：$h(x)$ 在 $E$ 上可微，且对任意的 $x \in E$ 有

$$
h^{\prime}(x)=f(x)^{T} g^{\prime}(x)+g(x)^{T} f^{\prime}(x)
$$

6、设 $\Omega \subset \mathbb{R}^{2}$ 为非空的连通开集，$f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 为连续函数，若

$$
f(x)=\frac{1}{\pi r^{2}} \int_{B_{r}(x)} f(y) \mathrm{d} y, \forall \overline{B_{r}(x)} \subset \Omega
$$

这里 $B_{r}(x) \underline{\underline{\Delta}}\left\{y \in \mathbb{R}^{2}:\|y-x\|<r, r>0\right\}$ ，证明：若 $f$ 在 $\Omega$ 上有最大值，则 $f$ 在 $\Omega$ 上为常值函数．

二、解答题．（每题 15 分，共 90 分）