西安交通大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
二、解答题．（每题 15 分，共 90 分）
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目要求
题目为“二、解答题．（每题 15 分，共 90 分）”，但未给出具体题目内容。作为解题专家，我需要先确认题目内容才能进行解答。通常解答题涉及极限、导数、积分或级数等分析问题。假设题目为：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$。
公式：无
提示：注意：实际解题前必须明确题目，此处仅作示例。请提供完整题目。
步骤 2/6
目标：识别极限形式
观察极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$，当 $x \to 0$ 时，分子 $\sin x - x \to 0$，分母 $x^3 \to 0$，属于 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
公式：$\frac{0}{0}$ 型
提示：判断未定式类型是第一步，常见有 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$。
步骤 3/6
目标：应用洛必达法则
对分子分母分别求导：分子导数 $\cos x - 1$，分母导数 $3x^2$。得到新极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2}$，仍为 $\frac{0}{0}$ 型。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2}$
提示：洛必达法则使用条件：导数存在且分母导数不为零。此处满足。
步骤 4/6
目标：再次应用洛必达法则
对 $\frac{\cos x - 1}{3x^2}$ 再次求导：分子导数 $-\sin x$，分母导数 $6x$。得到 $\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x}$，仍为 $\frac{0}{0}$ 型。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x}$
提示：注意符号变化，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：第三次应用洛必达法则或利用重要极限
再次求导：分子导数 $-\cos x$，分母导数 $6$。得到 $\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{6} = -\frac{1}{6}$。或者利用 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，直接得 $\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x} = -\frac{1}{6}$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x} = -\frac{1}{6} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = -\frac{1}{6}$
提示：熟悉重要极限可简化计算，但需确认形式匹配。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，原极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$
提示：结果可验证：泰勒展开 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，代入即得。
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