西安交通大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2^{x^{2}}+1}{2^{x}+1}\right)^{\frac{1}{x}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别极限类型并取对数
观察到当 $x \to 0$ 时，底数 $\frac{2^{x^2}+1}{2^x+1} \to 1$，指数 $\frac{1}{x} \to \infty$，属于 $1^\infty$ 型未定式。令 $L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{2^{x^2}+1}{2^x+1} \right)^{\frac{1}{x}}$，两边取自然对数得 $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left( \frac{2^{x^2}+1}{2^x+1} \right)$。
公式：\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left( \frac{2^{x^2}+1}{2^x+1} \right)
提示：取对数是处理 $1^\infty$ 型极限的标准方法，注意极限运算与对数运算交换的合法性。
步骤 2/5
目标：利用泰勒展开近似分子分母
当 $x \to 0$ 时，利用 $2^t = e^{t \ln 2} = 1 + t \ln 2 + \frac{t^2 (\ln 2)^2}{2} + O(t^3)$，分别令 $t = x^2$ 和 $t = x$ 得：
分子：$2^{x^2} + 1 \approx 2 + x^2 \ln 2 + O(x^4)$
分母：$2^x + 1 \approx 2 + x \ln 2 + \frac{x^2 (\ln 2)^2}{2} + O(x^3)$
公式：2^{x^2} + 1 = 2 + x^2 \ln 2 + O(x^4), \quad 2^x + 1 = 2 + x \ln 2 + \frac{x^2 (\ln 2)^2}{2} + O(x^3)
提示：泰勒展开时需注意分子分母展开到足够阶数，确保后续对数展开的精度。
步骤 3/5
目标：化简比值并展开对数
将比值写为 $\frac{2^{x^2}+1}{2^x+1} = \frac{1 + \frac{x^2 \ln 2}{2}}{1 + \frac{x \ln 2}{2} + \frac{x^2 (\ln 2)^2}{4}}$。利用 $(1+u)/(1+v) \approx 1 + u - v$（忽略高阶项），得 $\frac{2^{x^2}+1}{2^x+1} \approx 1 - \frac{x \ln 2}{2} + \frac{2\ln 2 - (\ln 2)^2}{4} x^2$。再令 $t = -\frac{x \ln 2}{2} + \frac{2\ln 2 - (\ln 2)^2}{4} x^2$，利用 $\ln(1+t) \approx t - \frac{t^2}{2}$ 展开，保留到 $x^2$ 项：
$\ln\left( \frac{2^{x^2}+1}{2^x+1} \right) \approx -\frac{\ln 2}{2} x + \frac{4\ln 2 - 3(\ln 2)^2}{8} x^2 + O(x^3)$
公式：\ln\left( \frac{2^{x^2}+1}{2^x+1} \right) = -\frac{\ln 2}{2} x + \frac{4\ln 2 - 3(\ln 2)^2}{8} x^2 + O(x^3)
提示：展开对数时，$t$ 的一次项和二次项都要考虑，且 $t^2$ 项会贡献二次项，注意不要遗漏。
步骤 4/5
目标：除以x并求极限
将上一步结果除以 $x$：$\frac{1}{x} \ln\left( \frac{2^{x^2}+1}{2^x+1} \right) \approx -\frac{\ln 2}{2} + \frac{4\ln 2 - 3(\ln 2)^2}{8} x + O(x^2)$。当 $x \to 0$ 时，含 $x$ 的项趋于 $0$，故 $\ln L = -\frac{\ln 2}{2}$。
公式：\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left( \frac{2^{x^2}+1}{2^x+1} \right) = -\frac{\ln 2}{2}
提示：注意 $x$ 在分母，展开式中常数项即为极限值，高阶项在取极限时消失。
步骤 5/5
目标：还原指数形式得到最终结果
由 $\ln L = -\frac{\ln 2}{2}$，两边取指数得 $L = e^{-\frac{\ln 2}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$。
公式：L = e^{-\frac{\ln 2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
提示：指数运算时注意 $e^{\ln a} = a$，且 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 是最终简化形式。
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