西安交通大学 2025年数学分析第0题

设 $P = x + y^2$, $Q = y + x^2$，则 $\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x$, $\frac{\partial P}{\partial y} = 2y$。由格林公式（曲线取正向，即逆时针方向）： $$ I = \oint_C (x+y^2)\,dx + (y+x^2)\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA = \iint_D 2(x-y)\,dA $$ 其中 $D$ 为心脏线 $\rho = 1+\cos\theta$ 所围成的区域。

在极坐标下，$x = \rho\cos\theta$, $y = \rho\sin\theta$, 面积元 $dA = \rho\,d\rho\,d\theta$。被积函数 $2(x-y) = 2\rho(\cos\theta - \sin\theta)$，于是： $$ I = \iint_D 2\rho(\cos\theta - \sin\theta) \cdot \rho\,d\rho\,d\theta = 2\iint_D \rho^2 (\cos\theta - \sin\theta)\,d\rho\,d\theta $$ 积分区域：$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$，对每个 $\theta$，$\rho$ 从 $0$ 到 $1+\cos\theta$。

将二重积分化为累次积分： $$ I = 2 \int_0^{2\pi} (\cos\theta - \sin\theta) \left[ \int_0^{1+\cos\theta} \rho^2\,d\rho \right] d\theta $$ 先计算内层积分： $$ \int_0^{1+\cos\theta} \rho^2\,d\rho = \frac{1}{3}(1+\cos\theta)^3 $$ 所以： $$ I = \frac{2}{3} \int_0^{2\pi} (\cos\theta - \sin\theta)(1+\cos\theta)^3\,d\theta $$

考虑被积函数中的 $\sin\theta (1+\cos\theta)^3$ 部分。由于 $(1+\cos\theta)^3$ 关于 $\theta=\pi$ 对称，而 $\sin\theta$ 关于 $\theta=\pi$ 是奇函数，因此该部分在 $[0,2\pi]$ 上的积分为零。故： $$ I = \frac{2}{3} \int_0^{2\pi} \cos\theta\,(1+\cos\theta)^3\,d\theta $$

展开 $(1+\cos\theta)^3 = 1 + 3\cos\theta + 3\cos^2\theta + \cos^3\theta$，乘以 $\cos\theta$ 得： $$ \cos\theta + 3\cos^2\theta + 3\cos^3\theta + \cos^4\theta $$ 利用常用积分公式（周期 $2\pi$）： - $\int_0^{2\pi} \cos\theta\,d\theta = 0$ - $\int_0^{2\pi} \cos^2\theta\,d\theta = \pi$ - $\int_0^{2\pi} \cos^3\theta\,d\theta = 0$ - $\int_0^{2\pi} \cos^4\theta\,d\theta = \frac{3\pi}{4}$（由 $\cos^4\theta = \frac{3+4\cos2\theta+\cos4\theta}{8}$ 积分得） 因此： $$ \int_0^{2\pi} \cos\theta(1+\cos\theta)^3\,d\theta = 0 + 3\pi + 0 + \frac{3\pi}{4} = \frac{15\pi}{4} $$

将积分结果代入： $$ I = \frac{2}{3} \times \frac{15\pi}{4} = \frac{30\pi}{12} = \frac{5\pi}{2} $$