西安交通大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3、设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n},(\forall n \geq 1)$ ，证明：$\left\{x_{n}\right\}$ 收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将数列改写为与积分比较的形式
考虑积分 $\int_{1}^{n} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{n} - 2$，将 $x_n$ 改写为：
$$x_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n} = \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} - \int_1^n \frac{dx}{\sqrt{x}} \right) - 2$$
这样问题转化为括号内差值的极限是否存在。
公式：\int_{1}^{n} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{n} - 2
提示：注意积分上下限与求和起始项一致，便于比较。
步骤 2/5
目标：证明数列单调递减
计算相邻两项的差：
$$x_{n+1} - x_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}} - 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$$
利用 $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$，代入得：
$$x_{n+1} - x_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$$
通分后分子为 $(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}) - 2\sqrt{n+1} = \sqrt{n} - \sqrt{n+1} < 0$，因此 $x_{n+1} - x_n < 0$，数列严格递减。
公式：x_{n+1} - x_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < 0
提示：分母有理化是处理根式差的关键技巧。
步骤 3/5
目标：证明数列有下界
利用函数 $f(x) = 1/\sqrt{x}$ 在区间 $[k, k+1]$ 上的单调递减性，有：
$$\frac{1}{\sqrt{k}} > \int_k^{k+1} \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
对 $k=1$ 到 $n$ 求和得：
$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} > \int_1^{n+1} \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{n+1} - 2$$
因此
$$x_n > 2\sqrt{n+1} - 2 - 2\sqrt{n} = 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) - 2$$
由于 $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} > 0$，故 $x_n > -2$，即数列有下界 $-2$。
公式：\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} > 2\sqrt{n+1} - 2 \quad \Rightarrow \quad x_n > -2
提示：积分比较时注意区间端点选择，确保不等式方向正确。
步骤 4/5
目标：由单调有界准则得出收敛结论
数列 $\{x_n\}$ 单调递减（步骤2）且有下界（步骤3），根据实数系的单调有界准则，单调递减有下界的数列必然收敛，因此 $\lim_{n\to\infty} x_n$ 存在。
公式：\text{单调递减 + 有下界} \Rightarrow \text{收敛}
提示：单调有界准则是证明数列收敛的常用方法，需同时验证单调性和有界性。
步骤 5/5
目标：补充说明极限值（不要求精确计算）
虽然题目只要求证明收敛，但可以指出该极限是一个已知常数：
$$\lim_{n\to\infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n} \right) = \zeta\left(\frac{1}{2}\right) \approx -1.4603545$$
其中 $\zeta(s)$ 是黎曼zeta函数在 $s=1/2$ 处的解析延拓值。
公式：\lim_{n\to\infty} x_n = \zeta(1/2) \approx -1.4603545
提示：此极限值涉及解析数论，仅作拓展了解，证明中不需要。
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