西安交通大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
8．$\left(\partial \mathbb{Q}^{2}\right)^{\circ}=$ $\_\_\_\_$ $Y_{1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解符号含义
题目中 \(\partial \mathbb{Q}^2\) 表示 \(\mathbb{Q}^2\) 的拓扑边界，上标圆圈 \((\cdot)^\circ\) 表示集合的内部。因此，我们需要先求出 \(\mathbb{Q}^2\) 的边界，再求该边界的内部。
公式：\partial A = \overline{A} \setminus A^\circ
提示：注意区分边界、内部和闭包的概念，特别是符号 \(\partial\) 和 \((\cdot)^\circ\) 的含义。
步骤 2/5
目标：分析 \(\mathbb{Q}^2\) 的闭包和内部
在标准欧几里得平面 \(\mathbb{R}^2\) 中，有理点集 \(\mathbb{Q}^2\) 是稠密的，即它的闭包 \(\overline{\mathbb{Q}^2} = \mathbb{R}^2\)。同时，\(\mathbb{Q}^2\) 的内部为空集，因为任何开圆盘都包含无理点，不能完全由有理点组成，即 \((\mathbb{Q}^2)^\circ = \varnothing\)。
公式：\overline{\mathbb{Q}^2} = \mathbb{R}^2, \quad (\mathbb{Q}^2)^\circ = \varnothing
提示：稠密性意味着闭包是整个空间，内部为空是因为有理数集在实数中不包含任何开区间。
步骤 3/5
目标：计算 \(\mathbb{Q}^2\) 的边界
根据边界公式 \(\partial \mathbb{Q}^2 = \overline{\mathbb{Q}^2} \setminus (\mathbb{Q}^2)^\circ\)，代入得 \(\partial \mathbb{Q}^2 = \mathbb{R}^2 \setminus \varnothing = \mathbb{R}^2\)。因此，整个平面都是 \(\mathbb{Q}^2\) 的边界。
公式：\partial \mathbb{Q}^2 = \mathbb{R}^2
提示：边界可能非常大，甚至等于整个空间，这是由稠密且内部为空导致的。
步骤 4/5
目标：求边界的内部
现在需要计算 \((\partial \mathbb{Q}^2)^\circ\)，即 \(\mathbb{R}^2\) 的内部。整个平面 \(\mathbb{R}^2\) 在自身中显然是开集，因此它的内部就是它自身，即 \((\partial \mathbb{Q}^2)^\circ = \mathbb{R}^2\)。
公式：(\mathbb{R}^2)^\circ = \mathbb{R}^2
提示：整个空间作为度量空间的开集，其内部就是自身，不要误以为内部是空集。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
综合以上步骤，\((\partial \mathbb{Q}^2)^\circ = \mathbb{R}^2\)。
公式：\left(\partial \mathbb{Q}^{2}\right)^{\circ} = \mathbb{R}^{2}
提示：最终答案是一个集合，即整个二维平面。
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