西安交通大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
5、函数 $f(x, y)=x^{3}-x^{2}-x y+y^{2}$ 的极值点为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求一阶偏导数并令其为零，找到驻点
对函数 $f(x,y)=x^{3}-x^{2}-xy+y^{2}$ 分别求关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数：
$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 2x - y$$
$$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -x + 2y$$
令 $f_x=0$ 且 $f_y=0$，得到方程组：
$$\begin{cases} 3x^2 - 2x - y = 0 \\ -x + 2y = 0 \end{cases}$$
公式：$f_x = 3x^2 - 2x - y$, $f_y = -x + 2y$
提示：注意求偏导时，将另一个变量视为常数。
步骤 2/6
目标：解方程组得到驻点坐标
由 $f_y=0$ 得 $y = \frac{x}{2}$，代入 $f_x=0$：
$$3x^2 - 2x - \frac{x}{2} = 0$$
化简得 $3x^2 - \frac{5}{2}x = 0$，两边乘以2：$6x^2 - 5x = 0$，即 $x(6x-5)=0$，解得 $x=0$ 或 $x=\frac{5}{6}$。
对应 $y$ 值：当 $x=0$ 时 $y=0$；当 $x=\frac{5}{6}$ 时 $y=\frac{5}{12}$。
得到两个驻点：$(0,0)$ 和 $\left(\frac{5}{6},\frac{5}{12}\right)$。
公式：$y = \frac{x}{2}$, $x(6x-5)=0$
提示：解方程时注意化简，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：求二阶偏导数，构造判别式
计算二阶偏导数：
$$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 - 2x - y) = 6x - 2$$
$$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(-x + 2y) = 2$$
$$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 - 2x - y) = -1$$
判别式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (6x-2)\cdot 2 - (-1)^2 = 12x - 4 - 1 = 12x - 5$。
公式：$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 12x - 5$
提示：注意 $f_{xy}$ 是对 $x$ 偏导后再对 $y$ 偏导，顺序不影响结果。
步骤 4/6
目标：判别驻点 $(0,0)$ 的类型
将 $(0,0)$ 代入判别式：$D = 12\times 0 - 5 = -5 < 0$。
当 $D<0$ 时，该点为鞍点，不是极值点。
公式：$D = -5 < 0$
提示：$D<0$ 时一定不是极值点，无需再检查 $f_{xx}$ 符号。
步骤 5/6
目标：判别驻点 $\left(\frac{5}{6},\frac{5}{12}\right)$ 的类型
将 $x=\frac{5}{6}$ 代入判别式：$D = 12\times\frac{5}{6} - 5 = 10 - 5 = 5 > 0$。
同时 $f_{xx} = 6\times\frac{5}{6} - 2 = 5 - 2 = 3 > 0$。
$D>0$ 且 $f_{xx}>0$，故该点为极小值点。
公式：$D = 5 > 0$, $f_{xx} = 3 > 0$
提示：当 $D>0$ 时，$f_{xx}>0$ 为极小值，$f_{xx}<0$ 为极大值。
步骤 6/6
目标：总结极值点
函数 $f(x,y)=x^{3}-x^{2}-xy+y^{2}$ 的极值点只有一个，即极小值点 $\left(\frac{5}{6},\frac{5}{12}\right)$。
公式：极值点：$\left(\frac{5}{6},\frac{5}{12}\right)$
提示：注意极值点坐标要写完整，不要遗漏括号。
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