西安交通大学 2025年数学分析第0题

由定义，$\Gamma(\alpha+1)=\int_{0}^{+\infty} x^{(\alpha+1)-1} e^{-x} \mathrm{~d} x = \int_{0}^{+\infty} x^{\alpha} e^{-x} \mathrm{~d} x$。为了得到与$\Gamma(\alpha)$的关系，考虑分部积分，令$u = x^{\alpha}$，$\mathrm{d}v = e^{-x}\mathrm{d}x$，则$\mathrm{d}u = \alpha x^{\alpha-1}\mathrm{d}x$，$v = -e^{-x}$。

根据分部积分公式$\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u$，有： $$\Gamma(\alpha+1) = \left[ -x^{\alpha} e^{-x} \right]_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} \alpha x^{\alpha-1} e^{-x} \mathrm{d}x.$$ 当$x=0$时，$x^{\alpha}=0$（因$\alpha>0$），故$-x^{\alpha}e^{-x}=0$；当$x\to+\infty$时，指数衰减快于任何幂次增长，故极限也为0。因此边界项整体为0。

去掉边界项后，剩下积分部分： $$\Gamma(\alpha+1) = \alpha \int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} \mathrm{d}x = \alpha \Gamma(\alpha).$$ 这就完成了（1）的证明。

令$f(\alpha)=\ln\Gamma(\alpha)$，则$f'(\alpha)=\frac{\Gamma'(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}=\psi(\alpha)$（digamma函数），$f''(\alpha)=\psi'(\alpha)$。要证明$f(\alpha)$是凸函数，只需证明$f''(\alpha)\ge 0$，即$\psi'(\alpha)>0$。

由$\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-t}dt$，对$\alpha$求导得$\Gamma'(\alpha)=\int_0^\infty t^{\alpha-1}\ln t\, e^{-t}dt$。再求导得$\Gamma''(\alpha)=\int_0^\infty t^{\alpha-1}(\ln t)^2 e^{-t}dt$。代入$\psi'(\alpha)$的表达式，并利用柯西-施瓦茨不等式或直接积分变换可证其正性。更简洁的方法是使用已知积分公式： $$\psi'(\alpha)=\int_0^\infty \frac{t e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}dt, \quad \alpha>0.$$ 该积分中被积函数恒正，故$\psi'(\alpha)>0$。

利用伽马函数的Weierstrass乘积形式： $$\frac{1}{\Gamma(\alpha)} = \alpha e^{\gamma\alpha} \prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{\alpha}{n}\right)e^{-\alpha/n},$$ 取对数后求两次导数，得到： $$\psi'(\alpha)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+\alpha)^2}.$$ 该级数每一项均为正，且对$\alpha>0$收敛，因此$\psi'(\alpha)>0$，从而$\ln\Gamma(\alpha)$是严格凸函数。