西安交通大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
7、拉普拉斯算子 $\displaystyle \Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$ 在极坐标变换 $\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array}\right.$ ， $\theta \in[0,2 \pi]$ 下的表达式为 $\_\_\_\_$ ．
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立极坐标与直角坐标的变换关系，并求一阶偏导数的链式法则表达式
已知极坐标变换：
\[ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta \]
由链式法则：
\[ \frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta \]
\[ \frac{\partial f}{\partial \theta} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta} = -f_x r\sin\theta + f_y r\cos\theta \]
公式：\[ f_r = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta, \quad f_\theta = -f_x r\sin\theta + f_y r\cos\theta \]
提示：注意链式法则中每个偏导数的系数不要写错，尤其是对θ求导时，x和y的偏导带有r因子。
步骤 2/6
目标：反解出f_x和f_y关于f_r和f_θ的表达式
将上述两个方程视为关于f_x和f_y的线性方程组：
\[ \begin{cases} f_x \cos\theta + f_y \sin\theta = f_r \\ -f_x \sin\theta + f_y \cos\theta = \dfrac{f_\theta}{r} \end{cases} \]
写成矩阵形式，系数矩阵是正交矩阵，其逆矩阵为转置，解得：
\[ \begin{pmatrix} f_x \\ f_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_r \\ f_\theta / r \end{pmatrix} \]
因此：
\[ f_x = f_r \cos\theta - \frac{f_\theta}{r} \sin\theta \]
\[ f_y = f_r \sin\theta + \frac{f_\theta}{r} \cos\theta \]
公式：\[ f_x = f_r \cos\theta - \frac{f_\theta}{r} \sin\theta, \quad f_y = f_r \sin\theta + \frac{f_\theta}{r} \cos\theta \]
提示：注意第二个方程两边要除以r才能得到标准形式，避免遗漏分母。
步骤 3/6
目标：将∂/∂x算子用极坐标下的偏导算子表示
由坐标变换的反函数：
\[ r = \sqrt{x^2+y^2}, \quad \theta = \arctan(y/x) \]
计算：
\[ \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r} = \cos\theta, \quad \frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{y}{r^2} = -\frac{\sin\theta}{r} \]
根据链式法则：
\[ \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \theta} = \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \]
公式：\[ \frac{\partial}{\partial x} = \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \]
提示：∂θ/∂x的符号容易出错，注意y = r sinθ，对x求偏导时要用隐函数求导。
步骤 4/6
目标：计算f_xx，即∂²f/∂x²
将f_x的表达式代入算子：
\[ f_{xx} = \left( \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \left( f_r \cos\theta - \frac{f_\theta}{r} \sin\theta \right) \]
先计算∂/∂r部分：
\[ \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} \left( f_r \cos\theta - \frac{f_\theta}{r} \sin\theta \right) = \cos\theta \left( f_{rr} \cos\theta + \frac{f_\theta}{r^2} \sin\theta - \frac{f_{\theta r}}{r} \sin\theta \right) \]
再计算∂/∂θ部分：
\[ -\frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( f_r \cos\theta - \frac{f_\theta}{r} \sin\theta \right) = -\frac{\sin\theta}{r} \left( f_{r\theta} \cos\theta - f_r \sin\theta - \frac{f_{\theta\theta}}{r} \sin\theta - \frac{f_\theta}{r} \cos\theta \right) \]
两部分相加并合并同类项得：
\[ f_{xx} = f_{rr} \cos^2\theta - \frac{2f_{r\theta}}{r} \sin\theta\cos\theta + \frac{f_{\theta\theta}}{r^2} \sin^2\theta + \frac{f_r}{r} \sin^2\theta + \frac{2f_\theta}{r^2} \sin\theta\cos\theta \]
公式：\[ f_{xx} = f_{rr} \cos^2\theta - \frac{2f_{r\theta}}{r} \sin\theta\cos\theta + \frac{f_{\theta\theta}}{r^2} \sin^2\theta + \frac{f_r}{r} \sin^2\theta + \frac{2f_\theta}{r^2} \sin\theta\cos\theta \]
提示：计算∂/∂r时注意对1/r的求导会产生负号，不要遗漏f_θ/r项中的r导数。
步骤 5/6
目标：类似地计算f_yy，并利用对称性简化
由对称性，将x替换为y，相应地∂/∂y算子为：
\[ \frac{\partial}{\partial y} = \sin\theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \]
将f_y表达式代入并计算，或者直接由f_xx结果通过交换sinθ和cosθ并注意符号变化得到：
\[ f_{yy} = f_{rr} \sin^2\theta + \frac{2f_{r\theta}}{r} \sin\theta\cos\theta + \frac{f_{\theta\theta}}{r^2} \cos^2\theta + \frac{f_r}{r} \cos^2\theta - \frac{2f_\theta}{r^2} \sin\theta\cos\theta \]
公式：\[ f_{yy} = f_{rr} \sin^2\theta + \frac{2f_{r\theta}}{r} \sin\theta\cos\theta + \frac{f_{\theta\theta}}{r^2} \cos^2\theta + \frac{f_r}{r} \cos^2\theta - \frac{2f_\theta}{r^2} \sin\theta\cos\theta \]
提示：注意∂/∂y中∂θ/∂y = cosθ/r，符号为正，与∂/∂x不同，这会导致交叉项符号变化。
步骤 6/6
目标：将f_xx和f_yy相加，得到拉普拉斯算子在极坐标下的表达式
将f_xx和f_yy相加：
\[ \Delta f = f_{xx} + f_{yy} \]
合并同类项：
- f_{rr}项：\( f_{rr}(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = f_{rr} \)
- f_{rθ}项：\( -\frac{2f_{r\theta}}{r} \sin\theta\cos\theta + \frac{2f_{r\theta}}{r} \sin\theta\cos\theta = 0 \)
- f_{θθ}项：\( \frac{f_{\theta\theta}}{r^2}(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = \frac{f_{\theta\theta}}{r^2} \)
- f_r项：\( \frac{f_r}{r}(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = \frac{f_r}{r} \)
- f_θ项：\( \frac{2f_\theta}{r^2} \sin\theta\cos\theta - \frac{2f_\theta}{r^2} \sin\theta\cos\theta = 0 \)
因此最终结果为：
\[ \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} \]
公式：\[ \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} \]
提示：交叉项和含f_θ的项在相加时恰好抵消，这是极坐标下拉普拉斯算子的简洁形式，注意1/r和1/r²的系数不要写反。
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