西安交通大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
9． $\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 4}\left(x^{2} \sin y+x \ln \left(1+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析积分区域与被积函数
积分区域为圆盘 $x^2 + y^2 \leq 4$，圆心在原点，半径为 $2$，关于 $x$ 轴和 $y$ 轴均对称。被积函数为 $f(x,y) = x^2 \sin y + x \ln(1+y^2)$，可拆分为两部分：$f_1(x,y)=x^2 \sin y$ 和 $f_2(x,y)=x \ln(1+y^2)$。
公式：区域：$x^2+y^2 \leq 4$
提示：注意对称性：圆域关于坐标轴对称。
步骤 2/4
目标：判断第一部分 $x^2 \sin y$ 的奇偶性
对于 $f_1(x,y)=x^2 \sin y$：关于 $x$ 是偶函数（因为 $x^2$ 是偶函数），关于 $y$ 是奇函数（因为 $\sin y$ 是奇函数）。由于区域关于 $x$ 轴对称，对任意固定的 $x$，$y$ 的积分区间为 $[-\sqrt{4-x^2}, \sqrt{4-x^2}]$，关于 $y=0$ 对称，而 $\sin y$ 是奇函数，因此该部分积分为零。
公式：$\iint_{x^2+y^2 \leq 4} x^2 \sin y \, dxdy = 0$
提示：奇函数在对称区间上的积分为零，这是关键。
步骤 3/4
目标：判断第二部分 $x \ln(1+y^2)$ 的奇偶性
对于 $f_2(x,y)=x \ln(1+y^2)$：关于 $x$ 是奇函数（因为 $x$ 是奇函数），关于 $y$ 是偶函数（因为 $\ln(1+y^2)$ 是偶函数）。由于区域关于 $y$ 轴对称，对任意固定的 $y$，$x$ 的积分区间为 $[-\sqrt{4-y^2}, \sqrt{4-y^2}]$，关于 $x=0$ 对称，而 $x$ 是奇函数，因此该部分积分为零。
公式：$\iint_{x^2+y^2 \leq 4} x \ln(1+y^2) \, dxdy = 0$
提示：注意 $\ln(1+y^2)$ 是偶函数，不影响 $x$ 的奇性。
步骤 4/4
目标：合并两部分并得出最终结果
由于两部分积分均为零，整个二重积分等于零。无需进行复杂的极坐标变换，直接利用对称性即可。
公式：$\iint_{x^2+y^2 \leq 4} \left(x^2 \sin y + x \ln(1+y^2)\right) dxdy = 0$
提示：检查是否遗漏任何非零项，这里两部分都为零。
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