西安交通大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2、设 $f(x)=x^{2} e^{x}$ ，则 $f^{(10)}(0)=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定求解方法
函数 $f(x)=x^2 e^x$ 是幂函数与指数函数的乘积，求 $f^{(10)}(0)$ 可利用莱布尼茨公式或泰勒展开。这里采用莱布尼茨公式：$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$。令 $u(x)=x^2$，$v(x)=e^x$。
公式：$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$
提示：注意莱布尼茨公式中组合数的计算，以及 $u(x)$ 的高阶导数在 $k>2$ 时为零。
步骤 2/5
目标：求 $u(x)=x^2$ 的各阶导数
计算 $u(x)=x^2$ 的导数：$u'(x)=2x$，$u''(x)=2$，$u'''(x)=0$，且 $k\geq 3$ 时 $u^{(k)}(x)=0$。
公式：$u^{(k)}(x) = \begin{cases} x^2, & k=0 \\ 2x, & k=1 \\ 2, & k=2 \\ 0, & k\geq 3 \end{cases}$
提示：注意 $u^{(0)}(x)$ 即原函数本身。
步骤 3/5
目标：求 $v(x)=e^x$ 的各阶导数
指数函数 $v(x)=e^x$ 的任意阶导数均为自身：$v^{(m)}(x)=e^x$。
公式：$v^{(m)}(x)=e^x$ 对所有 $m\geq 0$ 成立
提示：没有特殊变化，但代入 $x=0$ 时 $e^0=1$。
步骤 4/5
目标：代入莱布尼茨公式求 $f^{(10)}(x)$
由莱布尼茨公式：$f^{(10)}(x)=\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} u^{(k)}(x) v^{(10-k)}(x)$。由于 $u^{(k)}(x)$ 仅在 $k=0,1,2$ 时非零，只需计算三项：
- $k=0$：$\binom{10}{0} u^{(0)}(x) v^{(10)}(x) = 1 \cdot x^2 \cdot e^x = x^2 e^x$
- $k=1$：$\binom{10}{1} u'(x) v^{(9)}(x) = 10 \cdot 2x \cdot e^x = 20x e^x$
- $k=2$：$\binom{10}{2} u''(x) v^{(8)}(x) = 45 \cdot 2 \cdot e^x = 90 e^x$
因此 $f^{(10)}(x)=x^2 e^x + 20x e^x + 90 e^x$。
公式：$f^{(10)}(x)=x^2 e^x + 20x e^x + 90 e^x$
提示：组合数计算：$\binom{10}{0}=1$，$\binom{10}{1}=10$，$\binom{10}{2}=45$。注意 $u^{(k)}$ 的系数不要遗漏。
步骤 5/5
目标：代入 $x=0$ 求值
将 $x=0$ 代入 $f^{(10)}(x)$：$x^2 e^x = 0$，$20x e^x = 0$，$90 e^x = 90 \times 1 = 90$。所以 $f^{(10)}(0)=90$。
公式：$f^{(10)}(0)=90$
提示：代入时注意 $e^0=1$，且含 $x$ 的项均为零。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。