西安交通大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
6．已知 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则
$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}+\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}\right|_{(0,0)}=
$$
$\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出函数表达式并明确计算目标
已知函数 $f(x,y)=\begin{cases} xy\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}$，需要计算 $\left.\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\right|_{(0,0)}+\left.\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\right|_{(0,0)}$。
公式：$f(x,y)=\dfrac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2},\ (x,y)\neq(0,0)$
提示：注意函数在原点处单独定义，求偏导需用定义。
步骤 2/8
目标：求一阶偏导数 $\frac{\partial f}{\partial y}$（非原点处）
将 $f$ 视为 $\dfrac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2}$，用商法则：分子 $u=x^3y-xy^3$，分母 $v=x^2+y^2$。$u_y=x^3-3xy^2$，$v_y=2y$。则
$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{(x^3-3xy^2)(x^2+y^2)-(x^3y-xy^3)(2y)}{(x^2+y^2)^2}.$$
展开分子：$(x^3-3xy^2)(x^2+y^2)=x^5-2x^3y^2-3xy^4$，$(x^3y-xy^3)(2y)=2x^3y^2-2xy^4$，相减得 $x^5-4x^3y^2-xy^4$。所以
$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x^5-4x^3y^2-xy^4}{(x^2+y^2)^2}.$$
公式：$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{x^5-4x^3y^2-xy^4}{(x^2+y^2)^2}$
提示：展开时注意合并同类项，避免符号错误。
步骤 3/8
目标：求一阶偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$（非原点处）
同样用商法则：$u_x=3x^2y-y^3$，$v_x=2x$。则
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{(3x^2y-y^3)(x^2+y^2)-(x^3y-xy^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2}.$$
展开分子：$(3x^2y-y^3)(x^2+y^2)=3x^4y+2x^2y^3-y^5$，$(x^3y-xy^3)(2x)=2x^4y-2x^2y^3$，相减得 $x^4y+4x^2y^3-y^5$。所以
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x^4y+4x^2y^3-y^5}{(x^2+y^2)^2}.$$
公式：$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{x^4y+4x^2y^3-y^5}{(x^2+y^2)^2}$
提示：注意与 $\partial f/\partial y$ 的对称性，但符号不同。
步骤 4/8
目标：用定义求 $f_y(0,0)$ 及 $f_y(x,0)$ 的表达式
由定义：$f_y(0,0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=0$（因为 $f(0,h)=0$）。对 $x\neq0$，代入 $y=0$ 到 $\partial f/\partial y$ 表达式：$f_y(x,0)=\dfrac{x^5}{x^4}=x$。因此 $f_y(x,0)=x$ 对 $x\neq0$，且 $f_y(0,0)=0$。
公式：$f_y(x,0)=x,\ f_y(0,0)=0$
提示：求混合偏导时，先固定一个变量为0，再沿另一方向求导。
步骤 5/8
目标：计算 $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)$
由定义：$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{h-0}{h}=1$。
公式：$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=1$
提示：这里先对 $y$ 求偏导再对 $x$ 求偏导，顺序不可交换。
步骤 6/8
目标：用定义求 $f_x(0,0)$ 及 $f_x(0,y)$ 的表达式
由定义：$f_x(0,0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0$。对 $y\neq0$，代入 $x=0$ 到 $\partial f/\partial x$ 表达式：$f_x(0,y)=\dfrac{-y^5}{y^4}=-y$。因此 $f_x(0,y)=-y$ 对 $y\neq0$，且 $f_x(0,0)=0$。
公式：$f_x(0,y)=-y,\ f_x(0,0)=0$
提示：注意符号：$f_x(0,y)=-y$ 与 $f_y(x,0)=x$ 符号相反。
步骤 7/8
目标：计算 $\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0)$
由定义：$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f_x(0,h)-f_x(0,0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{-h-0}{h}=-1$。
公式：$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0)=-1$
提示：与上一步结果互为相反数，说明混合偏导在原点不相等。
步骤 8/8
目标：求和得到最终答案
将两个混合偏导在原点处的值相加：$1+(-1)=0$。
公式：$\left.\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\right|_{(0,0)}+\left.\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\right|_{(0,0)}=0$
提示：虽然两个混合偏导不相等，但它们的和恰好为0。
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