西安交通大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1、设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，证明：$f(x)=O(x),(x \rightarrow+\infty)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用一致连续定义，选取特定ε
因为 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，所以对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\ge 0$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。取 $\varepsilon=1$，则存在 $\delta_0>0$ 满足上述性质。
公式：$\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\forall x_1,x_2\ge0,|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$
提示：注意一致连续定义中δ只依赖于ε，不依赖于点的位置。
步骤 2/5
目标：将区间分割成小段，构造递推路径
对任意 $x>0$，令 $n=\lfloor x/\delta_0 \rfloor$，则 $n\delta_0 \le x < (n+1)\delta_0$。取点列 $0,\delta_0,2\delta_0,\dots,n\delta_0,x$，相邻两点距离均不超过 $\delta_0$。
公式：$n = \left\lfloor \frac{x}{\delta_0} \right\rfloor$
提示：注意最后一个区间 $[n\delta_0,x]$ 的长度可能小于 $\delta_0$，但仍满足一致连续条件。
步骤 3/5
目标：利用三角不等式逐段估计函数值差
由一致连续性，相邻点函数值之差不超过1，即 $|f(k\delta_0)-f((k-1)\delta_0)|<1$（$k=1,\dots,n$），且 $|f(x)-f(n\delta_0)|<1$。于是
\[
|f(x)-f(0)| \le |f(x)-f(n\delta_0)| + \sum_{k=1}^{n} |f(k\delta_0)-f((k-1)\delta_0)| < 1 + n.
\]
公式：$|f(x)-f(0)| < 1 + n$
提示：三角不等式使用时要小心，确保每一项的绝对值估计正确。
步骤 4/5
目标：用x表示n，得到线性上界
由于 $n \le \frac{x}{\delta_0}$，代入得 $|f(x)-f(0)| < 1 + \frac{x}{\delta_0}$，因此
\[
|f(x)| \le |f(0)| + 1 + \frac{x}{\delta_0}.
\]
公式：$|f(x)| \le |f(0)| + 1 + \frac{x}{\delta_0}$
提示：注意这里得到的是对所有 $x\ge0$ 成立的界，但需要转化为 $O(x)$ 的形式。
步骤 5/5
目标：整理为O(x)的定义形式
取 $M = |f(0)| + 1 + \frac{1}{\delta_0}$，则当 $x \ge 1$ 时，有 $|f(x)| \le M x$。对于 $0 \le x < 1$，函数值有界，不影响渐近性。因此存在 $X=1$ 和 $M>0$，使得当 $x>X$ 时 $|f(x)| \le M x$，即 $f(x)=O(x)\ (x\to+\infty)$。
公式：$f(x)=O(x)\ (x\to+\infty)$
提示：注意 $O(x)$ 的定义要求存在常数 $M$ 和 $X$，使得当 $x>X$ 时 $|f(x)| \le M x$，这里 $M$ 可以取 $|f(0)|+1+1/\delta_0$。
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