西安交通大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2、设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $(-1,1)$ 上收敛，且 $a_{n} \geq 0,(\forall n \in \mathbb{N})$ ，又设
$$
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=S \in \mathbb{R}
$$
证明：幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 收玫于 $S$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件
已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $(-1,1)$ 上收敛，系数 $a_n \ge 0$，且极限 $\lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = S \in \mathbb{R}$ 存在有限。
公式：$$\lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = S$$
提示：注意 $x \to 1^-$ 表示从左侧趋近于1，且 $S$ 是有限实数。
步骤 2/5
目标：由非负系数得到单调性
因为 $a_n \ge 0$，对于 $0 \le x < 1$，函数 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的每一项 $a_n x^n$ 随 $x$ 增大而增大，因此 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上单调递增。
公式：$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \quad \text{在 } [0,1) \text{ 上单调递增}$$
提示：单调性源于非负系数和 $x^n$ 的单调性，注意 $x$ 的范围。
步骤 3/5
目标：利用单调有界原理得到部分和数列有上界
由 $f(x)$ 单调递增且 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = S$，可知对任意 $x \in [0,1)$，有 $f(x) \le S$。考虑部分和 $S_N = \sum_{n=0}^N a_n$，对任意固定的 $N$，有 $\sum_{n=0}^N a_n x^n \le f(x) \le S$。令 $x \to 1^-$，左边趋于 $\sum_{n=0}^N a_n$，因此 $S_N \le S$。故部分和数列 $\{S_N\}$ 单调递增且有上界 $S$，极限存在，记 $\sum_{n=0}^\infty a_n = L \le S$。
公式：$$\sum_{n=0}^N a_n \le S \quad \Rightarrow \quad L = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^N a_n \le S$$
提示：这里利用了 $x^n \le 1$ 和非负性，注意极限交换顺序需要谨慎，但此处因有限和可直接取极限。
步骤 4/5
目标：证明 L = S
对任意 $x \in [0,1)$，由于 $x^n \le 1$ 且 $a_n \ge 0$，有 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \le \sum_{n=0}^\infty a_n = L$。取 $x \to 1^-$ 的极限，得 $S = \lim_{x \to 1^-} f(x) \le L$。结合上一步 $L \le S$，因此 $L = S$。
公式：$$S = \lim_{x \to 1^-} f(x) \le L \quad \text{且} \quad L \le S \quad \Rightarrow \quad L = S$$
提示：注意 $f(x) \le L$ 对所有 $x<1$ 成立，取极限后不等号方向不变。
步骤 5/5
目标：得出结论
由 $L = S$ 可知，幂级数在 $x=1$ 处收敛，且其和为 $S$。
公式：$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n = S$$
提示：结论是幂级数在端点 $x=1$ 处收敛，且和等于左侧极限。
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