西安交通大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
5、设 $\mathbf{E}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的开集，函数 $f: \mathbf{E} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 与 $\mathbf{g}: \mathbf{E} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 均可微，设
$$
h(x)=\langle f(x), g(x)\rangle
$$
为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的内积，证明：$h(x)$ 在 $E$ 上可微，且对任意的 $x \in E$ 有
$$
h^{\prime}(x)=f(x)^{T} g^{\prime}(x)+g(x)^{T} f^{\prime}(x)
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确符号和已知条件
设 $E \subset \mathbb{R}^n$ 是开集，$f: E \to \mathbb{R}^m$ 和 $g: E \to \mathbb{R}^m$ 均在 $E$ 上可微。定义 $h(x) = \langle f(x), g(x) \rangle = f(x)^T g(x)$，其中 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的标准内积。目标是证明 $h$ 在 $E$ 上可微，并求出其导数表达式。
公式：h(x) = f(x)^T g(x)
提示：注意 $f$ 和 $g$ 是向量值函数，其导数 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 是 $m \times n$ 的 Jacobi 矩阵。
步骤 2/7
目标：回忆可微的定义
一个映射 $\phi: E \to \mathbb{R}$ 在点 $x$ 可微，如果存在一个线性映射 $L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$，使得当 $v \to 0$ 时，有 $\phi(x+v) - \phi(x) = L(v) + o(\|v\|)$。对于向量值函数 $f$，其导数 $f'(x)$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，满足 $f(x+v) - f(x) = f'(x)v + o(\|v\|)$。
公式：\phi(x+v) - \phi(x) = L(v) + o(\|v\|)
提示：这里的 $o(\|v\|)$ 表示比 $\|v\|$ 更高阶的无穷小量，即 $\lim_{v \to 0} \frac{o(\|v\|)}{\|v\|} = 0$。
步骤 3/7
目标：计算差分的表达式
取一个小的增量 $v \in \mathbb{R}^n$，使得 $x+v \in E$，则 $h(x+v) - h(x) = \langle f(x+v), g(x+v) \rangle - \langle f(x), g(x) \rangle$。利用内积的双线性性质，可以写成 $= \langle f(x+v)-f(x), g(x+v) \rangle + \langle f(x), g(x+v)-g(x) \rangle$。
公式：h(x+v) - h(x) = \langle f(x+v)-f(x), g(x+v) \rangle + \langle f(x), g(x+v)-g(x) \rangle
提示：双线性性质是内积的重要性质，注意这里将增量分解为两部分，分别处理 $f$ 和 $g$ 的变化。
步骤 4/7
目标：利用可微性展开
因为 $f$ 和 $g$ 可微，有 $f(x+v) - f(x) = f'(x)v + o(\|v\|)$，$g(x+v) - g(x) = g'(x)v + o(\|v\|)$。同时，由于 $g$ 在 $x$ 处连续（可微必连续），有 $g(x+v) = g(x) + o(1)$。
公式：f(x+v) - f(x) = f'(x)v + o(\|v\|), \quad g(x+v) - g(x) = g'(x)v + o(\|v\|)
提示：注意 $f'(x)v$ 是矩阵乘向量，结果是一个 $\mathbb{R}^m$ 中的向量；$o(1)$ 表示当 $v \to 0$ 时趋于 $0$ 的量。
步骤 5/7
目标：代入并分离主部
先看第一项：$\langle f(x+v)-f(x), g(x+v) \rangle = \langle f'(x)v + o(\|v\|), g(x) + o(1) \rangle$。展开得 $= \langle f'(x)v, g(x) \rangle + \langle f'(x)v, o(1) \rangle + \langle o(\|v\|), g(x) \rangle + \langle o(\|v\|), o(1) \rangle$。其中后三项都是 $o(\|v\|)$（因为 $\langle f'(x)v, o(1) \rangle$ 是 $O(\|v\|) \cdot o(1) = o(\|v\|)$，其余类似）。所以第一项主部是 $\langle f'(x)v, g(x) \rangle$。再看第二项：$\langle f(x), g(x+v)-g(x) \rangle = \langle f(x), g'(x)v + o(\|v\|) \rangle = \langle f(x), g'(x)v \rangle + o(\|v\|)$。
公式：\langle f(x+v)-f(x), g(x+v) \rangle = \langle f'(x)v, g(x) \rangle + o(\|v\|), \quad \langle f(x), g(x+v)-g(x) \rangle = \langle f(x), g'(x)v \rangle + o(\|v\|)
提示：注意 $o(\|v\|)$ 的运算性质：$O(\|v\|) \cdot o(1) = o(\|v\|)$，以及 $o(\|v\|) \cdot O(1) = o(\|v\|)$。
步骤 6/7
目标：合并主部并转化为矩阵形式
于是 $h(x+v)-h(x) = \langle f'(x)v, g(x) \rangle + \langle f(x), g'(x)v \rangle + o(\|v\|)$。利用内积的线性性质，将内积转化为矩阵乘法：$\langle f'(x)v, g(x) \rangle = (g(x))^T (f'(x)v) = (g(x)^T f'(x)) v$，$\langle f(x), g'(x)v \rangle = (f(x))^T (g'(x)v) = (f(x)^T g'(x)) v$。因此 $h(x+v)-h(x) = (f(x)^T g'(x) + g(x)^T f'(x)) v + o(\|v\|)$。
公式：h(x+v)-h(x) = (f(x)^T g'(x) + g(x)^T f'(x)) v + o(\|v\|)
提示：注意 $f(x)^T g'(x)$ 是一个 $1 \times n$ 的行向量，$g(x)^T f'(x)$ 也是 $1 \times n$ 的行向量，两者相加后与 $v$ 相乘得到标量。
步骤 7/7
目标：得出结论
由可微定义，$h$ 在 $x$ 处可微，且导数为 $h'(x) = f(x)^T g'(x) + g(x)^T f'(x)$，这里 $h'(x)$ 是 $1 \times n$ 的行向量。由于 $x$ 是 $E$ 中任意点，所以 $h$ 在整个 $E$ 上可微。
公式：h'(x) = f(x)^T g'(x) + g(x)^T f'(x)
提示：该公式类似于乘积法则，但注意矩阵乘法的顺序：$f(x)^T$ 是行向量，$g'(x)$ 是矩阵，乘积为行向量。
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