西安交通大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4． $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用对称性建立积分等式
设 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。由于在区间 $[0, \pi/2]$ 上 $\sin x$ 与 $\cos x$ 对称，有 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos x) \, dx$。
公式：I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos x) \, dx
提示：注意对称性成立是因为 $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$，且积分区间不变。
步骤 2/6
目标：将两个积分相加并化简被积函数
将两个等式相加得 $2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [\ln(\sin x) + \ln(\cos x)] \, dx$。利用对数性质 $\ln a + \ln b = \ln(ab)$，得 $\ln(\sin x \cos x) = \ln\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)$。因此 $2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln\left(\frac{\sin 2x}{2}\right) \, dx$。
公式：\ln(\sin x) + \ln(\cos x) = \ln\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)
提示：注意 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$，所以 $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$。
步骤 3/6
目标：拆开积分并计算常数部分
将积分拆分为 $2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln 2 \, dx$。第二部分为常数积分：$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln 2 \, dx = \frac{\pi}{2} \ln 2$。
公式：\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln 2 \, dx = \frac{\pi}{2} \ln 2
提示：常数 $\ln 2$ 可直接提出积分号。
步骤 4/6
目标：变量代换处理第一个积分
令 $t = 2x$，则 $dx = \frac{dt}{2}$，当 $x$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 时，$t$ 从 $0$ 到 $\pi$。于是 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \ln(\sin t) \, dt$。
公式：\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \ln(\sin t) \, dt
提示：注意代换后积分限的变化，不要忘记乘以 $\frac{1}{2}$。
步骤 5/6
目标：利用正弦函数的对称性化简
由于 $\sin t$ 在 $[0, \pi]$ 上关于 $t = \frac{\pi}{2}$ 对称，有 $\int_{0}^{\pi} \ln(\sin t) \, dt = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) \, dt = 2I$。因此 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot 2I = I$。
公式：\int_{0}^{\pi} \ln(\sin t) \, dt = 2I
提示：对称性成立是因为 $\sin(\pi - t) = \sin t$，且积分区间可分割。
步骤 6/6
目标：代入并解出 I
将结果代入 $2I = I - \frac{\pi}{2} \ln 2$，移项得 $I = -\frac{\pi}{2} \ln 2$。
公式：2I = I - \frac{\pi}{2} \ln 2 \Rightarrow I = -\frac{\pi}{2} \ln 2
提示：注意移项时符号变化，最终结果为负数。
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