西安理工大学 2024年数学分析第7题
📝 题目
7．$\displaystyle f(x)=\frac{4 x-3}{2 x^{2}-3 x-2}$ 展开成 $\displaystyle (x-1)$ 的幂级数，并求其收敛域。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简函数形式，分解分母
函数为 $f(x)=\frac{4x-3}{2x^2-3x-2}$。先对分母因式分解：解方程 $2x^2-3x-2=0$，判别式 $\Delta=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25$，根为 $x=\frac{3\pm5}{4}$，即 $x=2$ 和 $x=-\frac12$。因此分母可分解为 $2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)$。
公式：$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)$
提示：注意二次项系数为2，分解时不要遗漏系数。
步骤 2/6
目标：进行部分分式分解
设 $\frac{4x-3}{(2x+1)(x-2)}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-2}$。两边乘以分母得 $4x-3=A(x-2)+B(2x+1)$。整理得 $4x-3=(A+2B)x+(-2A+B)$。比较系数得方程组 $\begin{cases}A+2B=4\\-2A+B=-3\end{cases}$。解得 $B=1$，$A=2$。因此 $f(x)=\frac{2}{2x+1}+\frac{1}{x-2}$。
公式：$f(x)=\frac{2}{2x+1}+\frac{1}{x-2}$
提示：解方程组时注意符号，代入验证可避免错误。
步骤 3/6
目标：将第一项改写为关于 $(x-1)$ 的形式并展开
第一项 $\frac{2}{2x+1}$，因为 $2x+1=2(x-1)+3$，所以 $\frac{2}{2x+1}=\frac{2}{3+2(x-1)}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1+\frac{2}{3}(x-1)}$。当 $\left|\frac{2}{3}(x-1)\right|<1$ 时，利用等比级数展开得 $\frac{2}{3}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\left(\frac{2}{3}\right)^n(x-1)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}}(x-1)^n$。
公式：$\frac{2}{2x+1}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}}(x-1)^n$，收敛条件 $|x-1|<\frac{3}{2}$
提示：注意提取公因子时符号的处理，确保分母化为 $1+u$ 的形式。
步骤 4/6
目标：将第二项改写为关于 $(x-1)$ 的形式并展开
第二项 $\frac{1}{x-2}$，因为 $x-2=(x-1)-1=-[1-(x-1)]$，所以 $\frac{1}{x-2}=-\frac{1}{1-(x-1)}$。当 $|x-1|<1$ 时，展开为 $-\sum_{n=0}^\infty(x-1)^n$。
公式：$\frac{1}{x-2}=-\sum_{n=0}^\infty(x-1)^n$，收敛条件 $|x-1|<1$
提示：注意负号的处理，$x-2$ 写成 $-(1-(x-1))$ 是关键步骤。
步骤 5/6
目标：合并级数得到展开式
将两项展开式相加，得 $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\left[(-1)^n\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}}-1\right](x-1)^n$。
公式：$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\left[(-1)^n\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}}-1\right](x-1)^n$
提示：合并时注意通项公式的系数，不要遗漏负号。
步骤 6/6
目标：求收敛域
两个级数的收敛区间取交集：第一项要求 $|x-1|<\frac{3}{2}$，第二项要求 $|x-1|<1$，交集为 $|x-1|<1$，即 $(0,2)$。检查端点：当 $x=0$ 时，第二项级数 $\sum(-1)^n$ 发散，故整体发散；当 $x=2$ 时，原函数分母为零无定义，不在收敛域内。因此收敛域为开区间 $(0,2)$。
公式：收敛域为 $(0,2)$
提示：端点需单独验证，注意原函数在 $x=2$ 处无定义，直接排除。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。