西安理工大学 2024年数学分析第8题
📝 题目
8．计算三重积分 $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y d z$ ，其中 $V$ 是由曲面 $\displaystyle z=2\left(x^{2}+y^{2}\right), z=4$ 所周成
区域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析积分区域
曲面 $z = 2(x^2 + y^2)$ 是开口向上的旋转抛物面，顶点在原点；$z = 4$ 是水平平面。它们围成的区域 $V$ 是抛物面下方、平面上方的立体。在高度 $z$ 处，截面为圆，半径满足 $x^2 + y^2 = \frac{z}{2}$，最大半径在 $z=4$ 处为 $\sqrt{2}$。因此区域可描述为：$0 \le z \le 4$，$x^2 + y^2 \le \frac{z}{2}$。
公式：x^2 + y^2 = \frac{z}{2}
提示：注意抛物面顶点在原点，平面在上方，区域是有限的。
步骤 2/6
目标：选择坐标系并转换
由于被积函数 $x^2 + y^2$ 和区域具有旋转对称性，采用柱坐标：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$。则 $x^2 + y^2 = r^2$，体积元 $dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz$。
公式：x^2 + y^2 = r^2,\quad dV = r\,dr\,d\theta\,dz
提示：柱坐标下不要漏掉体积元中的 $r$。
步骤 3/6
目标：确定积分限
在柱坐标下，抛物面方程变为 $z = 2r^2$，平面为 $z=4$，因此 $z$ 从 $2r^2$ 到 $4$；$r$ 从 $0$ 到 $\sqrt{z/2}$，但先对 $z$ 积分时，$r$ 的范围由 $z=4$ 时的最大半径决定：$0 \le r \le \sqrt{2}$；$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
公式：2r^2 \le z \le 4,\quad 0 \le r \le \sqrt{2},\quad 0 \le \theta \le 2\pi
提示：先对 $z$ 积分时，$r$ 的上限是常数 $\sqrt{2}$，不要写错。
步骤 4/6
目标：写出三重积分并先对 $z$ 积分
积分化为：
$$
\iiint_V (x^2+y^2)\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\sqrt{2}} \int_{z=2r^2}^{4} r^2 \cdot r\, dz\, dr\, d\theta = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} r^3 (4 - 2r^2)\, dr.
$$
先对 $z$ 积分得 $r^3 \cdot (4 - 2r^2)$。
公式：\int_{z=2r^2}^{4} r^3\, dz = r^3(4 - 2r^2)
提示：被积函数 $r^2$ 乘体积元中的 $r$ 得 $r^3$，不要遗漏。
步骤 5/6
目标：计算角度积分和径向积分
角度部分 $\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi$。径向积分：
$$
\int_{0}^{\sqrt{2}} (4r^3 - 2r^5)\, dr = \left[ r^4 - \frac{1}{3}r^6 \right]_{0}^{\sqrt{2}}.
$$
代入 $r = \sqrt{2}$：$r^4 = 4$，$r^6 = 8$，得 $4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$。
公式：\int_{0}^{\sqrt{2}} (4r^3 - 2r^5)\, dr = \frac{4}{3}
提示：计算幂次时注意 $\sqrt{2}$ 的偶数次幂是整数。
步骤 6/6
目标：合并结果
将角度部分与径向积分相乘：$2\pi \times \frac{4}{3} = \frac{8\pi}{3}$。
公式：2\pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{8\pi}{3}
提示：最终结果要化简。
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