西安理工大学 2024年数学分析第9题
📝 题目
9．曲线 $L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 取逆时针方向，求 $\displaystyle \oint_{L}\left(x y^{2}+y^{3}\right) d x-\left(x^{2} y-x\right) d y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定解题方法
曲线 $L$ 是封闭的单位圆，方向为逆时针，被积函数适合使用格林定理（Green's Theorem），将曲线积分转化为二重积分。格林定理：
$$\oint_{L} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$$
其中 $L$ 取正向（逆时针），$D$ 是 $L$ 围成的区域。
公式：$$\oint_{L} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$$
提示：使用格林定理前，需确认曲线是封闭的且方向为正向（逆时针）。
步骤 2/6
目标：写出P和Q
原积分为：
$$\oint_{L} (x y^{2} + y^{3})\, dx - (x^{2} y - x)\, dy$$
因此：
$$P = x y^{2} + y^{3}, \quad Q = - (x^{2} y - x) = -x^{2} y + x$$
公式：$$P = x y^{2} + y^{3}, \quad Q = -x^{2} y + x$$
提示：注意 $dy$ 前的负号要包含在 $Q$ 中，不要遗漏。
步骤 3/6
目标：计算偏导数
先求 $\frac{\partial Q}{\partial x}$：
$$Q = -x^{2} y + x \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = -2x y + 1$$
再求 $\frac{\partial P}{\partial y}$：
$$P = x y^{2} + y^{3} \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y} = 2x y + 3y^{2}$$
于是：
$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (-2xy + 1) - (2xy + 3y^{2}) = -4xy + 1 - 3y^{2}$$
公式：$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - 4xy - 3y^{2}$$
提示：计算偏导数时注意链式法则，并仔细处理符号。
步骤 4/6
目标：转化为二重积分
由格林定理，原曲线积分转化为区域 $D$（单位圆盘 $x^{2}+y^{2} \le 1$）上的二重积分：
$$\oint_{L} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} (1 - 4xy - 3y^{2})\, dA$$
公式：$$\iint_{D} (1 - 4xy - 3y^{2})\, dA$$
提示：注意积分区域是单位圆盘，后续可利用对称性和极坐标简化计算。
步骤 5/6
目标：利用对称性简化积分
在单位圆盘 $D$ 上：
- 函数 $xy$ 关于 $x$ 和 $y$ 均为奇函数，由对称性得：
$$\iint_{D} xy \, dA = 0$$
- 对于 $y^{2}$，由对称性有：
$$\iint_{D} y^{2} \, dA = \iint_{D} x^{2} \, dA$$
且：
$$\iint_{D} (x^{2}+y^{2})\, dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^{2} \cdot r\, dr\, d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$$
因此：
$$\iint_{D} y^{2} \, dA = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$$
公式：$$\iint_{D} xy \, dA = 0, \quad \iint_{D} y^{2} \, dA = \frac{\pi}{4}$$
提示：利用对称性时，需确认被积函数的奇偶性以及积分区域的对称性。
步骤 6/6
目标：计算整个积分
原积分化为：
$$\iint_{D} 1\, dA - 4\iint_{D} xy \, dA - 3\iint_{D} y^{2} \, dA$$
其中 $\iint_{D} 1\, dA$ 是单位圆面积 $\pi$，代入已得结果：
$$\pi - 4 \cdot 0 - 3 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$
公式：$$\oint_{L} \left(x y^{2}+y^{3}\right) d x-\left(x^{2} y-x\right) d y = \frac{\pi}{4}$$
提示：最后计算时注意各项系数，避免算术错误。
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