西安理工大学 2024年数学分析第10题

曲面 $\Sigma: z = x^2 + y^2, z \le 1$ 是开口向上的旋转抛物面，取上侧为正。曲面积分形式为 $\iint_{\Sigma} x^3 dy dz + y^3 dz dx + (z-1) dx dy$，对应第二类曲面积分，其中 $P = x^3, Q = y^3, R = z-1$。

曲面 $\Sigma$ 不封闭，需补上平面 $\Sigma_1: z=1, x^2+y^2 \le 1$ 取上侧（外侧）。设封闭曲面 $S = \Sigma \cup \Sigma_1$ 取外侧。由于题目中 $\Sigma$ 取上侧，而封闭曲面的外侧在 $\Sigma$ 上是下侧，故有 $\iint_{\Sigma}^{\text{上侧}} = -\iint_{S}^{\text{外侧}} + \iint_{\Sigma_1}^{\text{外侧}}$。

散度：$\frac{\partial P}{\partial x} = 3x^2, \frac{\partial Q}{\partial y} = 3y^2, \frac{\partial R}{\partial z} = 1$，故 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 3x^2 + 3y^2 + 1$。区域 $\Omega = \{ (x,y,z): x^2+y^2 \le z \le 1, x^2+y^2 \le 1 \}$。用柱坐标：$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z$，$0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi, z$ 从 $r^2$ 到 $1$。计算三重积分：$\iiint_{\Omega} (3r^2+1) dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r dr \int_{r^2}^1 (3r^2+1) dz$。先对 $z$ 积分得 $(3r^2+1)(1-r^2)$，再对 $r$ 积分：$\int_0^1 r(3r^2+1)(1-r^2) dr = \int_0^1 (-3r^5 + 2r^3 + r) dr = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，乘以 $2\pi$ 得 $\iint_{S}^{\text{外侧}} = \pi$。

在平面 $\Sigma_1: z=1$ 上，法向量向上，故 $dy dz$ 和 $dz dx$ 项积分为0，仅 $dx dy$ 项非零。$R = z-1 = 0$，所以 $\iint_{\Sigma_1}^{\text{外侧}} (z-1) dx dy = \iint_{x^2+y^2 \le 1} 0 dx dy = 0$。

由第二步关系：$\iint_{\Sigma}^{\text{上侧}} = -\iint_{S}^{\text{外侧}} + \iint_{\Sigma_1}^{\text{外侧}} = -\pi + 0 = -\pi$。

曲面积分的结果为 $-\pi$。