西安理工大学 2025年数学分析第5题

要判断函数在原点是否连续，需要计算极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 是否等于 $f(0,0)=0$。使用极坐标代换：令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $r\to 0^+$。代入函数表达式：分子 $y^3+2x^2y = r^3\sin^3\theta + 2r^3\cos^2\theta\sin\theta = r^3(\sin^3\theta + 2\cos^2\theta\sin\theta)$，分母 $x^2+y^2 = r^2$，因此 $f(x,y) = r(\sin^3\theta + 2\cos^2\theta\sin\theta)$。由于 $|\sin^3\theta + 2\cos^2\theta\sin\theta| \leq 3$ 有界，当 $r\to 0$ 时，$f(x,y)\to 0$。故极限为 $0$，等于函数值，函数在原点连续。

利用偏导数的定义计算。对于 $f_x(0,0)$：$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$。当 $y=0$ 且 $x\neq 0$ 时，$f(x,0) = \frac{0+0}{x^2+0}=0$，所以 $f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{0-0}{h}=0$。对于 $f_y(0,0)$：$f_y(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}$。当 $x=0$ 且 $y\neq 0$ 时，$f(0,h) = \frac{h^3+0}{0+h^2}=h$，所以 $f_y(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{h-0}{h}=1$。因此两个偏导数都存在：$f_x(0,0)=0$，$f_y(0,0)=1$。

函数在原点可微的充要条件是：$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y) - f(0,0) - f_x(0,0)x - f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$。代入已知值：$f(0,0)=0$，$f_x=0$，$f_y=1$，则分子为 $f(x,y)-y = \frac{y^3+2x^2y}{x^2+y^2} - y$。通分计算：$\frac{y^3+2x^2y - y(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = \frac{y^3+2x^2y - yx^2 - y^3}{x^2+y^2} = \frac{x^2y}{x^2+y^2}$。于是需要判断的极限为：$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{(x^2+y^2)^{3/2}}$。

使用极坐标代换判断极限：令 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则 $\frac{x^2y}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^3} = \cos^2\theta\sin\theta$。该表达式与$\theta$有关，不是常数。例如，沿$\theta=0$（即$x$轴）时，极限为$0$；沿$\theta=\pi/4$时，极限为$\frac{\sqrt{2}}{4} \neq 0$。因此极限不存在（依赖于方向），故该极限不为$0$。所以函数在原点不可微。