西安理工大学 2025年数学分析第9题

题目中曲面 Σ 由 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 和 $z = \sqrt{2 - x^2 - y^2}$ 围成。第一个曲面是开口向上的圆锥面，第二个是上半球面（半径 $\sqrt{2}$）。求交线：令 $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2 - x^2 - y^2}$，平方得 $x^2 + y^2 = 2 - (x^2 + y^2)$，解得 $x^2 + y^2 = 1$，此时 $z = 1$。因此交线是平面 $z=1$ 上的圆，半径 $1$。立体区域 Ω 是锥顶在原点、上面盖着球冠的封闭区域。

将第二类曲面积分写成向量形式 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$，其中 $P = 2xz$（对应 $dy\,dz$），$Q = yz$（对应 $dz\,dx$），$R = -z^2$（对应 $dx\,dy$）。高斯公式：$\iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$，这里 Σ 取外侧，符合正方向。计算散度：$\frac{\partial P}{\partial x} = 2z$，$\frac{\partial Q}{\partial y} = z$，$\frac{\partial R}{\partial z} = -2z$，散度 $= 2z + z - 2z = z$。于是 $I = \iiint_{\Omega} z \, dV$。

区域 Ω 由锥面和球面围成，用柱坐标：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，体积元 $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$。锥面：$z = r$，球面：$z = \sqrt{2 - r^2}$。$r$ 范围：从 $0$ 到交线处 $r=1$。$z$ 范围：从下边界锥面到上边界球面。积分 $I = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} \int_{z=r}^{\sqrt{2 - r^2}} z \cdot r \, dz\, dr\, d\theta$。

先对 $z$ 积分：$\int_{z=r}^{\sqrt{2 - r^2}} z \, dz = \frac{1}{2}\left[ (2 - r^2) - r^2 \right] = \frac{1}{2}(2 - 2r^2) = 1 - r^2$，被积函数变为 $r(1 - r^2)$。再对 $r$ 积分：$\int_{0}^{1} r(1 - r^2) \, dr = \int_{0}^{1} (r - r^3) \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$。最后对 $\theta$ 积分：$\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi$。所以 $I = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$。

综合以上计算，曲面积分的结果为 $\frac{\pi}{2}$。