西安电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1． $\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{a}-\sqrt[2 n]{a})=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将根号形式转化为指数形式
将 $\sqrt[n]{a}$ 和 $\sqrt[2n]{a}$ 分别写成 $a^{1/n}$ 和 $a^{1/(2n)}$，原极限变为：
$$\lim_{n \to \infty} n \left( a^{1/n} - a^{1/(2n)} \right).$$
公式：$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$
提示：注意 $a>0$ 是隐含条件，否则开方无定义。
步骤 2/4
目标：利用指数函数的泰勒展开
当 $x \to 0$ 时，$a^x = e^{x \ln a} = 1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2} + o(x^2)$。
令 $x = 1/n$ 和 $x = 1/(2n)$，得到：
$$a^{1/n} = 1 + \frac{\ln a}{n} + \frac{(\ln a)^2}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right),$$
$$a^{1/(2n)} = 1 + \frac{\ln a}{2n} + \frac{(\ln a)^2}{8n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right).$$
公式：$a^x = e^{x \ln a} = 1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2} + o(x^2)$
提示：展开到 $x^2$ 项即可，因为后面乘以 $n$ 后，$o(1/n^2)$ 项会变成 $o(1/n)$，不影响极限。
步骤 3/4
目标：计算两个展开式的差
相减得：
$$a^{1/n} - a^{1/(2n)} = \left(1 + \frac{\ln a}{n} + \frac{(\ln a)^2}{2n^2}\right) - \left(1 + \frac{\ln a}{2n} + \frac{(\ln a)^2}{8n^2}\right) + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$$
$$= \frac{\ln a}{2n} + \frac{3(\ln a)^2}{8n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right).$$
公式：$a^{1/n} - a^{1/(2n)} = \frac{\ln a}{2n} + \frac{3(\ln a)^2}{8n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$
提示：注意合并同类项时，$\frac{\ln a}{n} - \frac{\ln a}{2n} = \frac{\ln a}{2n}$，二次项系数也要仔细计算。
步骤 4/4
目标：乘以 n 并取极限
将差乘以 $n$：
$$n \left( a^{1/n} - a^{1/(2n)} \right) = \frac{\ln a}{2} + \frac{3(\ln a)^2}{8n} + o\left(\frac{1}{n}\right).$$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{3(\ln a)^2}{8n} \to 0$，$o\left(\frac{1}{n}\right) \to 0$，因此极限为 $\frac{\ln a}{2}$。
公式：$\lim_{n \to \infty} n \left( a^{1/n} - a^{1/(2n)} \right) = \frac{\ln a}{2}$
提示：注意 $\ln a$ 可以是负数（当 $0
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