📝 西安电子科技大学 2026年数学分析真题

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{a}-\sqrt[2 n]{a})=$ $\_\_\_\_$。

2、 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{x} \int_{\frac{1}{x}}^{1} \frac{\cos 2 t}{t^{2}} d t=$ $\_\_\_\_$。

3． $\int \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} d x=$ $\_\_\_\_$ ．

4、 $u=\ln (x+y)$ ，求 $\left.d u\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$ ．

5、幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}$ 的收敛半径 $\_\_\_\_$ ．

6． $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos x-\cos 2 x}{x^{2}} d x=$ $\_\_\_\_$。

7、 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f(n x) d x$ ．

8、 $\displaystyle f(t)=\iint_{\substack{0 \leq x \leq s \\ 0 \leq y \leq s}} e^{-\frac{x}{y^{2}}} d x d y, t>0$ ，求 $f^{\prime}(t)$ ．

9、曲面 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=0.5\left(e^{u}+e^{-u}\right) \cos v \\ y=0.5\left(e^{u}+e^{-u}\right) \sin v, \text { 求 }(u, v)=\left(0, \frac{\pi}{4}\right) \text { 点处的切平面和法线方程．} \\ z=0.5\left(e^{u}-e^{-u}\right)\end{array}\right.$

10、求 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{1}{x} d y d z+\frac{1}{y} d z d x+\frac{1}{z} d x d y, \Sigma$ 为椭球 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 外侧．

11、 $K$ 为实数域，$F \subset K$ 为非空闭集，令 $d(x)=\inf \{|x-t|: t \in F\}$ ，证明 $d(x)$ 为连续函数．

12、 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 黎曼可积，在 $x=0$ 处连续，证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) d x=f(0)$ ．

13、 $x \in[-\pi, \pi]$ ，判断级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos n x}{\ln n}$ 收敛性（绝对收敛、条件收敛、发散），证明其不可能为某个 $[-\pi, \pi]$ 上的黎曼函数的傅里叶级数．

14、证明 Dini 定理：$K$ 是一个非空紧集，函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $K$ 上连续，函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 单调递减收敛于 0 ，证明函数列 $f_{n}(x)$ 在 $K$ 上一致收敛于 $f(x)=0$ ．

15、 $f(x)$ 是 $C^{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ 上的连续可微函数，$\Omega$ 是光滑的简单闭区域，若

$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0,
$$

则 $f$ 称为 $\Omega$ 上的调和函数．
（1）证明： $\displaystyle \int_{\partial \Omega} \frac{\partial f}{\partial n} d s=\iint_{\Omega}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right) d \sigma$ ，其中 $n$ 是 $f$ 在 $\partial \Omega$ 上的单位外法向量．
（2）荐 $f$ 是 $\Omega$ 上的调和函数，且二阶连续可微，证明：

$$
f(x)=\frac{1}{2 \pi r} \int_{\partial B(x, r)} f(x) d s=\frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{H(x, r)} f(x) d \sigma
$$

其中 $B(x, r)$ 是任意闭球，$x \in \partial \Omega$ ．

四．（14 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．
（1）若 $A$ 有限，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle A=+\infty$ 或 $\displaystyle -\infty$ ，请问（1）中的结论是否仍然成立？