西安电子科技大学 2026年数学分析第0题

题目给出的曲面积分为第二类曲面积分： \[ \iint_{\Sigma} \frac{1}{x} \, dy\,dz + \frac{1}{y} \, dz\,dx + \frac{1}{z} \, dx\,dy \] 可写成向量形式 \[ \iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} \]，其中 \[ \mathbf{F} = \left( \frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z} \right) \]。 高斯公式（散度定理）为： \[ \iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV \] 其中 \(V\) 是 \(\Sigma\) 所围成的椭球内部区域。

计算散度： \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = -\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}} - \frac{1}{z^{2}} \] 由于椭球中心在原点，而 \(\mathbf{F}\) 在原点处无定义（分母为零），且散度在原点附近发散（\(\sim 1/r^2\)），因此不能直接在整个椭球内部应用高斯公式。

考虑在原点附近挖去一个小椭球 \(\Sigma_\varepsilon\)： \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = \varepsilon^2 \] 方向取内侧。则在两曲面之间的区域应用高斯公式得： \[ \iint_{\Sigma} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} + \iint_{\Sigma_\varepsilon (\text{内})} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V_{\text{环}}} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV \] 但右侧散度在原点附近 \(\sim -1/r^2\)，在三维空间中体积分发散（\(\int_0^\varepsilon (1/r^2) \cdot r^2 dr = \int_0^\varepsilon dr\) 虽收敛，但需严格验证），实际上此处散度不可积，因此该方法失效。

使用广义球坐标参数化椭球面： \[ x = a\sin\theta\cos\phi,\quad y = b\sin\theta\sin\phi,\quad z = c\cos\theta \] 其中 \(\theta \in [0,\pi], \phi \in [0,2\pi]\)，外侧对应法向向外。 计算外法向面积元向量： \[ \mathbf{r}_\theta = (a\cos\theta\cos\phi,\; b\cos\theta\sin\phi,\; -c\sin\theta) \] \[ \mathbf{r}_\phi = (-a\sin\theta\sin\phi,\; b\sin\theta\cos\phi,\; 0) \] 叉积得： \[ \mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi = (bc\sin^2\theta\cos\phi,\; ac\sin^2\theta\sin\phi,\; ab\sin\theta\cos\theta) \] 因此 \(d\mathbf{S} = (bc\sin^2\theta\cos\phi,\; ac\sin^2\theta\sin\phi,\; ab\sin\theta\cos\theta)\, d\theta d\phi\)。

分别计算三个积分： 第一项： \[ \frac{1}{x} dy\,dz = \frac{1}{a\sin\theta\cos\phi} \cdot (bc\sin^2\theta\cos\phi)\, d\theta d\phi = \frac{bc}{a} \sin\theta \, d\theta d\phi \] 第二项： \[ \frac{1}{y} dz\,dx = \frac{1}{b\sin\theta\sin\phi} \cdot (ac\sin^2\theta\sin\phi)\, d\theta d\phi = \frac{ac}{b} \sin\theta \, d\theta d\phi \] 第三项： \[ \frac{1}{z} dx\,dy = \frac{1}{c\cos\theta} \cdot (ab\sin\theta\cos\theta)\, d\theta d\phi = \frac{ab}{c} \sin\theta \, d\theta d\phi \] 因此被积函数之和为： \[ \left( \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c} \right) \sin\theta \, d\theta d\phi \]

对 \(\theta\) 和 \(\phi\) 积分： \[ \iint_{\Sigma} \left( \frac{1}{x} dy\,dz + \frac{1}{y} dz\,dx + \frac{1}{z} dx\,dy \right) = \left( \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c} \right) \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} \sin\theta \, d\theta \] 计算： \[ \int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi,\quad \int_{0}^{\pi} \sin\theta \, d\theta = 2 \] 因此结果为： \[ \left( \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c} \right) \cdot 2\pi \cdot 2 = 4\pi \left( \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c} \right) \]