西安电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3． $\int \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} d x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：换元简化积分
令 \( t = \sqrt{x} \)，则 \( x = t^2 \)，\( dx = 2t \, dt \)。原积分化为 \( \int \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} \, dx = \int t \cdot e^{t} \cdot (2t \, dt) = 2 \int t^2 e^{t} \, dt \)。
公式：t = \sqrt{x}, \quad dx = 2t \, dt
提示：注意换元后要正确替换微分，不要遗漏因子2t。
步骤 2/5
目标：第一次分部积分
对 \( \int t^2 e^{t} \, dt \) 使用分部积分。设 \( u = t^2 \)，\( dv = e^{t} \, dt \)，则 \( du = 2t \, dt \)，\( v = e^{t} \)。于是 \( \int t^2 e^{t} \, dt = t^2 e^{t} - \int e^{t} \cdot 2t \, dt = t^2 e^{t} - 2 \int t e^{t} \, dt \)。
公式：\int u \, dv = uv - \int v \, du
提示：分部积分时，选择u和dv要使得新积分更简单，这里u=t^2，dv=e^t dt是合适的。
步骤 3/5
目标：第二次分部积分
对 \( \int t e^{t} \, dt \) 再次分部积分。设 \( u = t \)，\( dv = e^{t} \, dt \)，则 \( du = dt \)，\( v = e^{t} \)。于是 \( \int t e^{t} \, dt = t e^{t} - \int e^{t} \, dt = t e^{t} - e^{t} + C_1 \)。
公式：\int t e^{t} \, dt = t e^{t} - e^{t} + C
提示：第二次分部积分后，积分 \(\int e^t dt\) 是基本积分，注意加常数。
步骤 4/5
目标：代回并整理表达式
将第二次结果代入第一次结果：\( \int t^2 e^{t} \, dt = t^2 e^{t} - 2(t e^{t} - e^{t}) + C = t^2 e^{t} - 2t e^{t} + 2 e^{t} + C \)。再乘以2得到原积分：\( 2 \int t^2 e^{t} \, dt = 2(t^2 e^{t} - 2t e^{t} + 2 e^{t}) + C = 2t^2 e^{t} - 4t e^{t} + 4 e^{t} + C \)。
公式：2 \int t^2 e^{t} \, dt = 2t^2 e^{t} - 4t e^{t} + 4 e^{t} + C
提示：注意常数C在每一步可以合并，最终只写一个常数。
步骤 5/5
目标：换回原变量x并化简
将 \( t = \sqrt{x} \) 代回：\( 2(\sqrt{x})^2 e^{\sqrt{x}} - 4\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} + 4 e^{\sqrt{x}} + C = 2x e^{\sqrt{x}} - 4\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} + 4 e^{\sqrt{x}} + C \)。提取公因子 \( 2 e^{\sqrt{x}} \) 得 \( 2 e^{\sqrt{x}} (x - 2\sqrt{x} + 2) + C \)。
公式：\int \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} \, dx = 2 e^{\sqrt{x}} (x - 2\sqrt{x} + 2) + C
提示：最后结果要化简，并注意定义域x≥0。
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