西安电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四．（14 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．
（1）若 $A$ 有限，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle A=+\infty$ 或 $\displaystyle -\infty$ ，请问（1）中的结论是否仍然成立？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题目条件，明确已知与待证
已知函数 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 内二阶可导，且 $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = A$，其中 $A$ 为有限数。需要证明存在 $\xi \in (a,+\infty)$ 使得 $f''(\xi)=0$。
公式：$$\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = A \quad (A \text{ 有限})$$
提示：注意极限是单侧极限，且函数在开区间内二阶可导，不能直接对端点使用罗尔定理，需要构造合适的点。
步骤 2/6
目标：构造函数并利用极限定义选取特殊点
考虑辅助函数 $g(x)=f(x)-A$，则 $\lim_{x\to a^+} g(x)=0$，$\lim_{x\to +\infty} g(x)=0$。若 $g(x)\equiv 0$，则 $f''(x)\equiv 0$，结论显然成立。若 $g(x)$ 不恒为零，则存在 $x_0\in(a,+\infty)$ 使得 $g(x_0)\neq 0$。不妨设 $g(x_0)>0$（负的情况类似）。由极限定义，存在 $\alpha\in(a,x_0)$ 和 $\beta\in(x_0,+\infty)$ 使得 $g(\alpha)
公式：$$\exists\alpha\in(a,x_0),\beta\in(x_0,+\infty):\ g(\alpha)<\frac{g(x_0)}{2},\ g(\beta)<\frac{g(x_0)}{2}$$
提示：利用极限定义时，取 $\varepsilon = g(x_0)/2 > 0$，即可找到这样的 $\alpha$ 和 $\beta$。
步骤 3/6
目标：利用连续函数的最值性质得到一阶导数为零的点
函数 $g(x)$ 在闭区间 $[\alpha,\beta]$ 上连续，故存在最大值。由 $g(\alpha)0$。由费马定理，在极值点 $c$ 处有 $g'(c)=0$，即 $f'(c)=0$。同理，若考虑 $g(x)$ 的最小值（当 $g(x_0)<0$ 时），也可得到另一个一阶导数为零的点 $d$。
公式：$$\exists c\in(\alpha,\beta):\ f'(c)=0$$
提示：费马定理要求极值点在内点且函数可导，这里满足条件。注意最大值点可能不止一个，但至少存在一个。
步骤 4/6
目标：利用对称性得到另一个一阶导数为零的点
若 $g(x)$ 既有正值也有负值，则最大值点 $c$ 和最小值点 $d$ 不同（$c\neq d$），且均有 $f'(c)=0$，$f'(d)=0$。若 $g(x)$ 恒非负（或恒非正），则最大值点 $c$ 处 $f'(c)=0$，但还需要另一个一阶导数为零的点。此时考虑 $g(x)$ 在 $a$ 附近和无穷远处的极限均为 $0$，而 $g(c)>0$，由介值定理，存在 $x_1\in(a,c)$ 和 $x_2\in(c,+\infty)$ 使得 $g(x_1)=g(x_2)=g(c)/2$。在区间 $[x_1,c]$ 和 $[c,x_2]$ 上分别使用拉格朗日中值定理，得到 $f'(\xi_1)=\frac{g(c)-g(x_1)}{c-x_1}>0$，$f'(\xi_2)=\frac{g(x_2)-g(c)}{x_2-c}<0$。由导数的介值性（达布定理），存在 $\eta$ 介于 $\xi_1$ 与 $\xi_2$ 之间使得 $f'(\eta)=0$，且 $\eta\neq c$。
公式：$$\exists\eta\in(\xi_1,\xi_2):\ f'(\eta)=0,\ \eta\neq c$$
提示：达布定理（导数的介值性）适用于可导函数，即使导数不连续也成立。这里 $f'$ 不一定连续，但达布定理保证存在零点。
步骤 5/6
目标：对两个一阶导数为零的点应用罗尔定理得到二阶导为零
由前两步，我们得到两个不同的点 $p,q\in(a,+\infty)$（$p
公式：$$\exists\xi\in(p,q):\ f''(\xi)=0$$
提示：罗尔定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，且端点值相等。这里 $f'$ 在 $[p,q]$ 上连续（可导必连续），满足条件。
步骤 6/6
目标：讨论第二问：当 $A=+\infty$ 或 $-\infty$ 时结论是否成立
结论不一定成立。构造反例：取 $a=0$，定义 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上。则 $\lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$，$\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$。计算导数：$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}$，$f''(x)=\frac{2}{x^3}>0$ 对所有 $x>0$ 成立，因此不存在 $\xi$ 使得 $f''(\xi)=0$。对于 $A=-\infty$ 的情况，可取 $f(x)=-x-\frac{1}{x}$，其二阶导恒负，同样无零点。
公式：$$f(x)=x+\frac{1}{x},\ f''(x)=\frac{2}{x^3}>0\quad (x>0)$$
提示：反例需要满足两端极限均为无穷且同号，且二阶导恒正（或恒负）。注意 $f(x)=\frac{1}{x-a}$ 不满足两端均为无穷的条件。
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