西安电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
6． $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos x-\cos 2 x}{x^{2}} d x=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数在 x→0 附近的行为，判断积分是否存在奇点
当 $x \to 0^+$ 时，利用泰勒展开：
$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$，
$\cos 2x \approx 1 - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^4}{24} = 1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3}$。
于是
$\cos x - \cos 2x \approx \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) - \left(1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3}\right) = \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{8}x^4$。
因此
$\frac{\cos x - \cos 2x}{x^2} \approx \frac{3}{2} - \frac{5}{8}x^2$，在 $x=0$ 处极限为 $\frac{3}{2}$，故积分在 $0$ 处无奇点。
公式：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$
提示：注意展开到足够高阶以确定极限是否存在，这里 $x^2$ 项系数非零即可判断极限有限。
步骤 2/5
目标：判断无穷远处的收敛性
当 $x \to +\infty$ 时，$|\cos x - \cos 2x| \leq 2$，故
$\left| \frac{\cos x - \cos 2x}{x^2} \right| \leq \frac{2}{x^2}$，而 $\int_1^{+\infty} \frac{2}{x^2} dx$ 收敛，因此原积分在无穷远处绝对收敛。
公式：$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = 1$
提示：比较判别法：被积函数绝对值被 $2/x^2$ 控制，而 $\int^{\infty} 1/x^2 dx$ 收敛。
步骤 3/5
目标：使用分部积分法化简积分
令 $I = \int_0^{+\infty} \frac{\cos x - \cos 2x}{x^2} dx$。
取 $u = \cos x - \cos 2x$，$dv = \frac{dx}{x^2}$，则 $du = (-\sin x + 2\sin 2x) dx$，$v = -\frac{1}{x}$。
分部积分得：
$I = \left[ (\cos x - \cos 2x) \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) \right]_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty} \left(-\frac{1}{x}\right)(-\sin x + 2\sin 2x) dx$。
计算边界项：当 $x \to +\infty$，$\frac{\cos x - \cos 2x}{x} \to 0$；当 $x \to 0^+$，$\frac{\cos x - \cos 2x}{x} \sim \frac{3}{2}x \to 0$。故边界项为 $0$。
于是
$I = -\int_0^{+\infty} \frac{\sin x - 2\sin 2x}{x} dx = \int_0^{+\infty} \frac{2\sin 2x - \sin x}{x} dx$。
公式：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：分部积分时注意符号，$v = -1/x$ 的微分要仔细；边界项需分别验证 $x\to 0^+$ 和 $x\to +\infty$ 的极限。
步骤 4/5
目标：利用Dirichlet积分公式计算
已知Dirichlet积分：对于 $a > 0$，$\int_0^{+\infty} \frac{\sin(ax)}{x} dx = \frac{\pi}{2}$。
因此
$\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}$，
$\int_0^{+\infty} \frac{\sin 2x}{x} dx = \frac{\pi}{2}$。
代入得
$I = 2 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$。
公式：$\int_0^{+\infty} \frac{\sin(ax)}{x} dx = \frac{\pi}{2}, \quad a > 0$
提示：Dirichlet积分是经典结果，注意 $a>0$ 时成立；若 $a=0$ 则积分为 $0$。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
综合以上步骤，原积分值为 $\frac{\pi}{2}$。
公式：$\int_0^{+\infty} \frac{\cos x - \cos 2x}{x^2} dx = \frac{\pi}{2}$
提示：检查答案是否合理：结果为正且与常见三角函数积分结果一致。
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