西安电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4、 $u=\ln (x+y)$ ，求 $\left.d u\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出全微分公式
对于二元函数 $u = u(x,y)$，其全微分为 $du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy$。
公式：du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy
提示：注意全微分是偏导数与微分的线性组合，不要遗漏任何一项。
步骤 2/5
目标：求偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}$
将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导：$u = \ln(x+y)$，则 $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{x+y}$。
公式：\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{x+y}
提示：注意 $\ln$ 的导数是 $1/\text{自变量}$，且 $x+y$ 对 $x$ 的导数为1。
步骤 3/5
目标：求偏导数 $\frac{\partial u}{\partial y}$
将 $x$ 视为常数，对 $y$ 求导：$u = \ln(x+y)$，则 $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{x+y}$。
公式：\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{x+y}
提示：由于 $x+y$ 对 $y$ 的导数也是1，所以两个偏导数相同。
步骤 4/5
目标：写出全微分表达式
将两个偏导数代入全微分公式：$du = \frac{1}{x+y} dx + \frac{1}{x+y} dy = \frac{1}{x+y}(dx+dy)$。
公式：du = \frac{1}{x+y}(dx+dy)
提示：可以提取公因子简化表达式。
步骤 5/5
目标：代入指定点 $(1,2)$
在点 $(1,2)$ 处，$x+y = 1+2 = 3$，因此 $\left. du \right|_{(1,2)} = \frac{1}{3} dx + \frac{1}{3} dy = \frac{1}{3}(dx+dy)$。
公式：\left. du \right|_{(1,2)} = \frac{1}{3}(dx+dy)
提示：代入时注意 $x$ 和 $y$ 的值要准确，$dx$ 和 $dy$ 保持为微分符号，不代入数值。
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