西安电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5、幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}$ 的收敛半径 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出幂级数的通项公式
设幂级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$，其中 $a_n = \dfrac{n!}{n^n}$。
公式：$a_n = \dfrac{n!}{n^n}$
提示：注意 $n$ 从 1 开始，不要遗漏阶乘的定义。
步骤 2/5
目标：应用比值审敛法求收敛半径公式
收敛半径 $R = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right|$，前提是该极限存在。计算比值：
$$
\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}
$$
公式：$R = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$
提示：比值法适用于阶乘和幂次形式，注意 $a_{n+1}$ 的构造。
步骤 3/5
目标：化简比值表达式
利用 $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$ 化简：
$$
\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) \cdot n!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = \frac{(n+1)^n}{n^n}
$$
公式：$\dfrac{a_n}{a_{n+1}} = \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^n$
提示：注意约分时 $n!$ 和 $(n+1)!$ 的关系，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：求极限得到收敛半径
进一步化简：
$$
\frac{a_n}{a_{n+1}} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n
$$
当 $n \to \infty$ 时，该极限为自然常数 $e$。因此收敛半径 $R = e$。
公式：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$
提示：这是重要极限，注意不要与 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ 混淆，后者极限也是 $e$。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n$ 的收敛半径为 $e$。
公式：$R = e$
提示：收敛半径只与系数有关，与 $x$ 无关，注意不要遗漏绝对值。
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