西安电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
11、 $K$ 为实数域，$F \subset K$ 为非空闭集，令 $d(x)=\inf \{|x-t|: t \in F\}$ ，证明 $d(x)$ 为连续函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确距离函数的定义与基本性质
设 $K = \mathbb{R}$，$F \subset \mathbb{R}$ 为非空闭集。定义 $d(x) = \inf\{ |x - t| : t \in F \}$，表示点 $x$ 到集合 $F$ 的距离。由于 $F$ 非空，$d(x)$ 对任意 $x \in \mathbb{R}$ 有定义且 $d(x) \ge 0$。
公式：$d(x) = \inf\{ |x - t| : t \in F \}$
提示：注意 $d(x)$ 是下确界，不一定能取到最小值，但非空性保证了下确界存在。
步骤 2/5
目标：利用三角不等式建立 $d(x)$ 与 $d(y)$ 的关系
对任意 $x, y \in \mathbb{R}$ 及任意 $t \in F$，由三角不等式有 $|x - t| \le |x - y| + |y - t|$。两边对 $t \in F$ 取下确界，左边下确界为 $d(x)$，右边下确界为 $|x - y| + d(y)$（因为 $|x - y|$ 与 $t$ 无关），从而得到 $d(x) \le |x - y| + d(y)$，即 $d(x) - d(y) \le |x - y|$。
公式：$|x - t| \le |x - y| + |y - t|$
提示：下确界的运算中，常数可以提出来，即 $\inf\{ |x-y| + |y-t| : t \in F \} = |x-y| + \inf\{ |y-t| : t \in F \}$。
步骤 3/5
目标：对称地得到另一个不等式
交换 $x$ 和 $y$ 的位置，同理可得 $d(y) - d(x) \le |x - y|$。
公式：$d(y) - d(x) \le |x - y|$
提示：这一步与上一步完全对称，注意不要遗漏。
步骤 4/5
目标：合并不等式得到 Lipschitz 条件
由 $d(x) - d(y) \le |x - y|$ 和 $d(y) - d(x) \le |x - y|$ 可得 $|d(x) - d(y)| \le |x - y|$。这表明 $d(x)$ 是 Lipschitz 连续的，Lipschitz 常数为 1。
公式：$|d(x) - d(y)| \le |x - y|$
提示：Lipschitz 连续是比一致连续更强的条件，因此直接推出连续性。
步骤 5/5
目标：由 Lipschitz 连续推出连续函数
Lipschitz 连续意味着对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$，当 $|x - y| < \delta$ 时，有 $|d(x) - d(y)| < \varepsilon$，因此 $d(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续，从而连续。注意此处并未用到 $F$ 是闭集的条件，实际上对任意非空子集 $F$ 结论都成立。
公式：对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$，则 $|x-y|<\delta$ 时 $|d(x)-d(y)|<\varepsilon$
提示：闭集条件在本题中对于连续性证明并非必要，但可能用于其他性质（如距离可达）。
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