西安电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
14、证明 Dini 定理：$K$ 是一个非空紧集，函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $K$ 上连续，函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 单调递减收敛于 0 ，证明函数列 $f_{n}(x)$ 在 $K$ 上一致收敛于 $f(x)=0$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确已知条件和证明目标
已知 $K$ 是非空紧集，$\{f_n\}$ 在 $K$ 上连续，且对每个 $x \in K$，$f_n(x)$ 关于 $n$ 单调递减收敛于 $0$。要证明 $\{f_n\}$ 在 $K$ 上一致收敛于 $0$，即对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得对所有 $n \ge N$ 和所有 $x \in K$，有 $|f_n(x)| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n\ge N, \forall x\in K: |f_n(x)|<\varepsilon
提示：注意单调递减和逐点收敛的条件是证明的关键出发点。
步骤 2/4
目标：利用逐点收敛构造开覆盖
对任意给定的 $\varepsilon>0$，对每个 $x \in K$，由 $f_n(x)\to 0$ 知存在 $N_x$ 使得 $f_{N_x}(x)<\varepsilon$。由单调性，对 $n\ge N_x$ 有 $f_n(x)\le f_{N_x}(x)<\varepsilon$。由于 $f_{N_x}$ 在 $x$ 处连续，存在开邻域 $U_x$ 使得对任意 $y\in U_x$ 有 $|f_{N_x}(y)-f_{N_x}(x)|<\varepsilon - f_{N_x}(x)$，从而 $f_{N_x}(y)<\varepsilon$。再由单调性，对 $n\ge N_x$ 和 $y\in U_x$ 有 $f_n(y)\le f_{N_x}(y)<\varepsilon$。
公式：f_{N_x}(y) < f_{N_x}(x) + (\varepsilon - f_{N_x}(x)) = \varepsilon
提示：连续性用于将点上的不等式延拓到邻域，注意邻域半径依赖于 $x$。
步骤 3/4
目标：利用紧性取有限子覆盖
所有开邻域 $\{U_x\}_{x\in K}$ 构成 $K$ 的开覆盖。由于 $K$ 是紧集，存在有限个点 $x_1,\dots,x_m$ 使得 $K \subseteq \bigcup_{i=1}^m U_{x_i}$。令 $N = \max\{N_{x_1},\dots,N_{x_m}\}$。
公式：K \subseteq \bigcup_{i=1}^m U_{x_i}, \quad N = \max_{1\le i\le m} N_{x_i}
提示：紧性保证了可以从无限覆盖中选出有限覆盖，这是得到一致 $N$ 的关键。
步骤 4/4
目标：证明一致收敛性
取任意 $n\ge N$ 和任意 $y\in K$，则 $y$ 属于某个 $U_{x_i}$。由于 $n\ge N \ge N_{x_i}$，由第二步的结论有 $f_n(y) \le f_{N_{x_i}}(y) < \varepsilon$。又 $f_n(y)\ge 0$，故 $|f_n(y)-0| < \varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意性，$\{f_n\}$ 在 $K$ 上一致收敛于 $0$。
公式：\forall n\ge N, \forall y\in K: f_n(y) < \varepsilon
提示：注意 $N$ 的取法依赖于 $\varepsilon$，但一旦取定，对所有 $x$ 一致成立。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。