西安电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
13、 $x \in[-\pi, \pi]$ ，判断级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos n x}{\ln n}$ 收敛性（绝对收敛、条件收敛、发散），证明其不可能为某个 $[-\pi, \pi]$ 上的黎曼函数的傅里叶级数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断级数是否绝对收敛
考虑绝对值级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \left|\frac{\cos n x}{\ln n}\right|$。对于一般的 $x$，$|\cos nx|$ 不恒为零，其平均值约为 $2/\pi$，因此通项与 $1/\ln n$ 同阶。由于 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}$ 发散（因为 $\frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n}$ 对充分大的 $n$ 成立，而调和级数发散），故原级数不绝对收敛。
公式：$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}$ 发散
提示：注意 $\ln n$ 增长极慢，$1/\ln n$ 比 $1/n$ 衰减更慢，因此发散。
步骤 2/4
目标：判断级数是否条件收敛（非零且非 $\pm\pi$ 的点）
当 $x \in (-\pi, \pi)$ 且 $x \neq 0$ 时，$\sin(x/2) \neq 0$，余弦部分和 $\sum_{n=2}^{N} \cos nx = \frac{\sin(Nx/2)\cos((N+1)x/2)}{\sin(x/2)} - \cos x$ 有界。系数 $a_n = 1/\ln n$ 单调递减趋于 $0$，由狄利克雷判别法知级数收敛。结合第一步知其为条件收敛。
公式：$\left|\sum_{n=2}^{N} \cos nx\right| \leq \frac{1}{|\sin(x/2)|} + 1$
提示：狄利克雷判别法要求部分和有界且系数单调趋于0，此处满足。
步骤 3/4
目标：判断特殊点 $x=0$ 和 $x=\pm\pi$ 的收敛性
当 $x=0$ 时，$\cos nx = 1$，级数为 $\sum_{n=2}^{\infty} 1/\ln n$，发散。当 $x=\pi$ 时，$\cos n\pi = (-1)^n$，级数为 $\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n/\ln n$，这是交错级数，通项递减趋于0，由莱布尼茨判别法知收敛（条件收敛）。$x=-\pi$ 同理。
公式：$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln n}$ 条件收敛
提示：注意 $x=0$ 是唯一的发散点，$x=\pm\pi$ 是交错级数。
步骤 4/4
目标：证明该级数不可能是黎曼可积函数的傅里叶级数
假设存在黎曼可积函数 $f$，其傅里叶级数为该级数，则余弦系数 $a_n = 1/\ln n$（$n\ge 2$），正弦系数 $b_n=0$。黎曼可积函数在 $[-\pi,\pi]$ 上有界，从而平方可积，其傅里叶系数平方和收敛（Parseval 恒等式）。但 $\sum_{n=2}^{\infty} a_n^2 = \sum_{n=2}^{\infty} 1/(\ln n)^2$ 发散（由积分判别法，$\int_2^{\infty} dx/(\ln x)^2$ 发散），矛盾。故不可能。
公式：$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^2}$ 发散，$\int_2^{\infty} \frac{dx}{(\ln x)^2} = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{e^t}{t^2} dt = \infty$
提示：黎曼可积函数必平方可积，但系数平方和发散与 Parseval 定理矛盾。
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