西安电子科技大学 2026年数学分析第0题

根据题目中积分区域的写法，推测上限应为参数t，即积分区域为\(0 \leq x \leq t, 0 \leq y \leq t\)。因此有 \[ f(t) = \iint_{0 \le x \le t,\, 0 \le y \le t} e^{-\frac{x}{y^2}} \, dx\, dy = \int_0^t \int_0^t e^{-\frac{x}{y^2}} \, dx\, dy. \] 注意：\(y=0\)时被积函数无定义，但该点为零测集，不影响积分值。

固定\(y>0\)，计算内层积分： \[ \int_0^t e^{-\frac{x}{y^2}} \, dx = \left[ -y^2 e^{-\frac{x}{y^2}} \right]_{x=0}^{x=t} = y^2 \left(1 - e^{-\frac{t}{y^2}}\right). \] 代入得 \[ f(t) = \int_0^t y^2 \left(1 - e^{-\frac{t}{y^2}}\right) dy. \]

令\(g(t,y) = y^2 \left(1 - e^{-\frac{t}{y^2}}\right)\)，则\(f(t) = \int_0^t g(t,y)\, dy\)。莱布尼茨公式： \[ f'(t) = g(t,t) + \int_0^t \frac{\partial g}{\partial t}(t,y)\, dy. \] 计算\(g(t,t) = t^2 \left(1 - e^{-\frac{t}{t^2}}\right) = t^2 \left(1 - e^{-\frac{1}{t}}\right)\)。 计算偏导数： \[ \frac{\partial g}{\partial t} = y^2 \cdot \left( - e^{-\frac{t}{y^2}} \cdot \frac{-1}{y^2} \right) = e^{-\frac{t}{y^2}}. \]

对积分\(\int_0^t e^{-\frac{t}{y^2}} \, dy\)作变量替换。令\(u = \frac{\sqrt{t}}{y}\)，则\(y = \frac{\sqrt{t}}{u}\)，\(dy = -\frac{\sqrt{t}}{u^2} du\)。当\(y \to 0^+\)时\(u \to +\infty\)，当\(y = t\)时\(u = 1\)。因此 \[ \int_0^t e^{-\frac{t}{y^2}} \, dy = \int_{+\infty}^1 e^{-u^2} \left(-\frac{\sqrt{t}}{u^2}\right) du = \sqrt{t} \int_1^{+\infty} \frac{e^{-u^2}}{u^2} \, du. \]

将化简后的积分代入求导结果，得到 \[ f'(t) = t^2\left(1 - e^{-\frac{1}{t}}\right) + \sqrt{t} \int_1^{\infty} \frac{e^{-u^2}}{u^2} \, du. \] 此即所求导数表达式。