西安电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
9、曲面 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=0.5\left(e^{u}+e^{-u}\right) \cos v \\ y=0.5\left(e^{u}+e^{-u}\right) \sin v, \text { 求 }(u, v)=\left(0, \frac{\pi}{4}\right) \text { 点处的切平面和法线方程．} \\ z=0.5\left(e^{u}-e^{-u}\right)\end{array}\right.$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算给定参数对应的空间点坐标
将 $u=0$ 和 $v=\frac{\pi}{4}$ 代入曲面参数方程：
$x = \frac{1}{2}(e^u + e^{-u})\cos v$，
$y = \frac{1}{2}(e^u + e^{-u})\sin v$，
$z = \frac{1}{2}(e^u - e^{-u})$。
当 $u=0$ 时，$e^u=1$，$e^{-u}=1$，故 $\frac{1}{2}(e^u+e^{-u})=1$，$\frac{1}{2}(e^u-e^{-u})=0$。
代入 $v=\frac{\pi}{4}$，得 $x=1\cdot\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$y=1\cdot\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$z=0$。
因此点为 $P_0\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$。
公式：$P_0 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$
提示：注意 $e^0=1$，代入时避免计算错误。
步骤 2/6
目标：求关于 $u$ 的偏导得到第一个切向量
对参数 $u$ 求偏导（$v$ 视为常数）：
$\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{2}(e^u - e^{-u})\cos v$，
$\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{2}(e^u - e^{-u})\sin v$，
$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{1}{2}(e^u + e^{-u})$。
在 $(u,v)=(0,\frac{\pi}{4})$ 处，$e^u-e^{-u}=0$，$e^u+e^{-u}=2$，故
$\frac{\partial x}{\partial u}=0$，$\frac{\partial y}{\partial u}=0$，$\frac{\partial z}{\partial u}=1$。
第一个切向量为 $\mathbf{r}_u = (0,0,1)$。
公式：$\mathbf{r}_u = \left(0,0,1\right)$
提示：当 $u=0$ 时 $e^u-e^{-u}=0$，这是简化关键。
步骤 3/6
目标：求关于 $v$ 的偏导得到第二个切向量
对参数 $v$ 求偏导（$u$ 视为常数）：
$\frac{\partial x}{\partial v} = -\frac{1}{2}(e^u+e^{-u})\sin v$，
$\frac{\partial y}{\partial v} = \frac{1}{2}(e^u+e^{-u})\cos v$，
$\frac{\partial z}{\partial v} = 0$。
在 $(0,\frac{\pi}{4})$ 处，$\frac{1}{2}(e^u+e^{-u})=1$，故
$\frac{\partial x}{\partial v} = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{\partial y}{\partial v} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{\partial z}{\partial v} = 0$。
第二个切向量为 $\mathbf{r}_v = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$。
公式：$\mathbf{r}_v = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$
提示：注意 $\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，符号不要弄错。
步骤 4/6
目标：计算法向量（切向量的叉积）
法向量 $\mathbf{n} = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}$。
按第一行展开：
$\mathbf{i}\cdot(0\cdot0 - 1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}) - \mathbf{j}\cdot(0\cdot0 - 1\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})) + \mathbf{k}\cdot(0\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - 0\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2}))$
$= \mathbf{i}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \mathbf{j}\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \mathbf{k}\cdot0$
$= \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$。
可简化为方向 $(1,1,0)$。
公式：$\mathbf{n} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$
提示：叉积计算时注意符号，可用右手定则验证方向。
步骤 5/6
目标：写出切平面方程
切平面过点 $P_0\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$，法向量为 $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$，方程为：
$-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{\sqrt{2}}{2}\left(y - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 0\cdot(z-0) = 0$。
化简：$-\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}y + \frac{1}{2} = 0$，
即 $-\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y) + 1 = 0$，
所以 $x+y = \sqrt{2}$。
公式：$x + y = \sqrt{2}$
提示：化简时注意常数项合并，最终结果可乘以 $\sqrt{2}$ 简化。
步骤 6/6
目标：写出法线方程
法线方向取法向量方向，简化为 $(1,1,0)$，过点 $P_0\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$。
对称式方程：$\frac{x - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1} = \frac{y - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1}$，且 $z=0$（因为方向向量 $z$ 分量为 $0$）。
参数式：$\begin{cases} x = \frac{\sqrt{2}}{2} + t, \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} + t, \\ z = 0. \end{cases}$
公式：$\frac{x - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1} = \frac{y - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1},\quad z=0$
提示：当法向量 $z$ 分量为 $0$ 时，法线在 $z=0$ 平面内，注意分母为 $0$ 的处理。
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