西安电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2、 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{x} \int_{\frac{1}{x}}^{1} \frac{\cos 2 t}{t^{2}} d t=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析变量趋向与积分区间
当 $x \to -\infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0^-$，积分下限 $\frac{1}{x} \to 0^-$，积分区间为 $[\frac{1}{x}, 1]$，其中 $\frac{1}{x}$ 是负数且趋近于0。被积函数 $\frac{\cos 2t}{t^2}$ 在 $t=0$ 处有奇点，但积分区间从负数一侧接近0，需谨慎处理。
提示：注意 $x \to -\infty$ 时 $\frac{1}{x}$ 为负，积分下限从负方向趋近0。
步骤 2/5
目标：换元简化积分
令 $u = \frac{1}{t}$，则 $t = \frac{1}{u}$，$dt = -\frac{1}{u^2} du$，且 $\frac{1}{t^2} = u^2$。被积函数化为：$\frac{\cos 2t}{t^2} dt = \cos\left(\frac{2}{u}\right) \cdot u^2 \cdot \left(-\frac{1}{u^2} du\right) = -\cos\left(\frac{2}{u}\right) du$。积分限：当 $t = \frac{1}{x}$ 时 $u = x$，当 $t = 1$ 时 $u = 1$，因此 $\int_{\frac{1}{x}}^{1} \frac{\cos 2t}{t^2} dt = \int_{x}^{1} -\cos\left(\frac{2}{u}\right) du = \int_{1}^{x} \cos\left(\frac{2}{u}\right) du$。
公式：\int_{\frac{1}{x}}^{1} \frac{\cos 2t}{t^2} dt = \int_{1}^{x} \cos\left(\frac{2}{u}\right) du
提示：换元时注意积分限的变换，以及负号的处理，最终将积分化为从1到x的形式。
步骤 3/5
目标：代入原极限
将换元后的积分代入原极限，得到：$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} \int_{1}^{x} \cos\left(\frac{2}{u}\right) du$。此时 $x$ 趋向负无穷，积分上限小于下限，积分值为负。
公式：\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} \int_{1}^{x} \cos\left(\frac{2}{u}\right) du
提示：注意积分方向：从1到x，当x为负时，积分区间是反向的。
步骤 4/5
目标：应用洛必达法则
令 $F(x) = \int_{1}^{x} \cos\left(\frac{2}{u}\right) du$，则极限为 $\lim_{x \to -\infty} \frac{F(x)}{x}$。当 $x \to -\infty$ 时，$F(x)$ 与 $x$ 均趋向无穷（因为被积函数 $\cos(2/u) \to 1$，积分近似为 $x-1$），满足洛必达法则条件。对分子分母分别求导：$F'(x) = \cos\left(\frac{2}{x}\right)$，分母导数为1。因此极限化为：$\lim_{x \to -\infty} \frac{F'(x)}{1} = \lim_{x \to -\infty} \cos\left(\frac{2}{x}\right)$。
公式：\lim_{x \to -\infty} \frac{F(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \cos\left(\frac{2}{x}\right)
提示：使用洛必达法则前需确认分子分母均趋于无穷，且导数存在。
步骤 5/5
目标：计算极限并得出结论
计算 $\lim_{x \to -\infty} \cos\left(\frac{2}{x}\right)$：当 $x \to -\infty$ 时，$\frac{2}{x} \to 0$，故 $\cos\left(\frac{2}{x}\right) \to \cos(0) = 1$。因此原极限值为1。
公式：\lim_{x \to -\infty} \cos\left(\frac{2}{x}\right) = 1
提示：注意 $\cos$ 函数在0处连续，直接代入即可。
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