西安电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
12、 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 黎曼可积，在 $x=0$ 处连续，证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) d x=f(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析题意与思路
已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上黎曼可积，且在 $x=0$ 处连续。要证明 $\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f(x^n) \, dx = f(0)$。由于 $x \in [0,1]$，当 $n$ 很大时，$x^n$ 在大部分区间上接近 $0$，只在靠近 $1$ 的地方才明显大于 $0$。因此将积分分成两部分：一部分是靠近 $0$ 的区间，这里 $f(x^n)$ 接近 $f(0)$；另一部分是靠近 $1$ 的很小区间，区间长度很小，对积分贡献可以忽略。
公式：\int_0^1 f(x^n) \, dx = \int_0^{a_n} f(x^n) \, dx + \int_{a_n}^1 f(x^n) \, dx
提示：注意利用 $x^n$ 在 $[0,1]$ 上的性质：当 $n$ 增大时，$x^n$ 在 $[0,1)$ 上趋于 $0$，仅在 $x=1$ 处为 $1$。
步骤 2/5
目标：利用连续性控制靠近0的部分
因为 $f$ 在 $x=0$ 连续，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得当 $|t| < \delta$ 时，有 $|f(t) - f(0)| < \varepsilon$。取 $a_n = \delta^{1/n}$，则当 $x \in [0, a_n)$ 时，$x^n < \delta$，从而 $|f(x^n) - f(0)| < \varepsilon$。
公式：a_n = \delta^{1/n}, \quad \forall x \in [0, a_n), \ |f(x^n) - f(0)| < \varepsilon
提示：注意 $\delta$ 由 $\varepsilon$ 决定，$a_n$ 依赖于 $n$ 和 $\delta$，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = 1$。
步骤 3/5
目标：分割积分并估计第一部分
将积分写为 $\int_0^1 f(x^n) \, dx = \int_0^{a_n} f(x^n) \, dx + \int_{a_n}^1 f(x^n) \, dx$。对于第一部分：$\left| \int_0^{a_n} f(x^n) \, dx - f(0) a_n \right| \leq \int_0^{a_n} |f(x^n) - f(0)| \, dx < \varepsilon \cdot a_n \leq \varepsilon$。因此 $\int_0^{a_n} f(x^n) \, dx = f(0) a_n + \theta_1$，其中 $|\theta_1| < \varepsilon$。
公式：\left| \int_0^{a_n} f(x^n) \, dx - f(0) a_n \right| < \varepsilon
提示：这里利用了 $a_n \leq 1$ 以及 $|f(x^n)-f(0)|<\varepsilon$ 在 $[0,a_n]$ 上成立。
步骤 4/5
目标：估计第二部分（靠近1的部分）
由于 $f$ 在 $[0,1]$ 上黎曼可积，故 $f$ 有界，设 $|f(x)| \leq M$。则 $\left| \int_{a_n}^1 f(x^n) \, dx \right| \leq M (1 - a_n)$。而 $a_n = \delta^{1/n} = e^{\frac{1}{n} \ln \delta}$，当 $n \to \infty$ 时，$1 - a_n \sim -\frac{\ln \delta}{n} \to 0$。所以第二部分趋于 $0$，记 $\theta_2 = \int_{a_n}^1 f(x^n) \, dx$，则 $|\theta_2| \leq M(1-a_n)$ 且 $\lim_{n\to\infty} \theta_2 = 0$。
公式：\left| \int_{a_n}^1 f(x^n) \, dx \right| \leq M (1 - a_n), \quad \lim_{n\to\infty} (1 - a_n) = 0
提示：注意 $\delta \in (0,1)$，故 $\ln \delta < 0$，$1-a_n$ 为正且趋于 $0$。
步骤 5/5
目标：合并估计并取极限
综合两部分：$\int_0^1 f(x^n) \, dx = f(0) a_n + \theta_1 + \theta_2$，其中 $|\theta_1| < \varepsilon$，$|\theta_2| \leq M(1-a_n)$。于是 $\left| \int_0^1 f(x^n) \, dx - f(0) \right| \leq |f(0)| \cdot |a_n - 1| + \varepsilon + M(1-a_n)$。当 $n \to \infty$ 时，$a_n \to 1$，故 $\limsup_{n\to\infty} \left| \int_0^1 f(x^n) \, dx - f(0) \right| \leq \varepsilon$。由于 $\varepsilon$ 任意小，因此极限为 $f(0)$。
公式：\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f(x^n) \, dx = f(0)
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性：先固定 $\varepsilon$ 得到上界，再令 $\varepsilon \to 0^+$ 即得极限。
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