西安电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
7、 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f(n x) d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题与已知条件
要求极限 \(\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f(nx) \, dx\)，其中 \(f\) 在 \([0, +\infty)\) 上连续，且 \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = A\)。
提示：注意连续性和极限条件是解题的关键，后续将利用变量替换和平均值思想。
步骤 2/6
目标：变量替换，转化积分形式
令 \(t = nx\)，则当 \(x\) 从 0 到 1 时，\(t\) 从 0 到 \(n\)，且 \(dx = \frac{dt}{n}\)。于是
\[
\int_0^1 f(nx) \, dx = \int_0^n f(t) \cdot \frac{1}{n} \, dt = \frac{1}{n} \int_0^n f(t) \, dt
\]
问题转化为求 \(f\) 在 \([0,n]\) 上平均值的极限。
公式：\int_0^1 f(nx) \, dx = \frac{1}{n} \int_0^n f(t) \, dt
提示：换元后注意积分限的变化，不要遗漏因子 \(1/n\)。
步骤 3/6
目标：利用极限条件拆分积分
由 \(\lim_{t \to +\infty} f(t) = A\)，对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(M > 0\)，使得当 \(t > M\) 时，\(|f(t) - A| < \varepsilon\)。将积分拆分为两部分：
\[
\frac{1}{n} \int_0^n f(t) \, dt = \frac{1}{n} \int_0^M f(t) \, dt + \frac{1}{n} \int_M^n f(t) \, dt
\]
提示：M 的选取依赖于 \(\varepsilon\)，但一旦选定，M 是固定常数。
步骤 4/6
目标：分析第一部分（有限区间）的极限
由于 \(f\) 在 \([0,M]\) 上连续，故 \(\int_0^M f(t) \, dt\) 是一个有限常数。当 \(n \to \infty\) 时，
\[
\frac{1}{n} \int_0^M f(t) \, dt \to 0
\]
提示：分子是常数，分母趋于无穷，故极限为0。
步骤 5/6
目标：分析第二部分（无穷区间）的极限
对于第二部分，当 \(n > M\) 时，有
\[
\left| \frac{1}{n} \int_M^n f(t) \, dt - A \cdot \frac{n-M}{n} \right| \leq \frac{1}{n} \int_M^n |f(t)-A| \, dt < \varepsilon \cdot \frac{n-M}{n} < \varepsilon
\]
而 \(A \cdot \frac{n-M}{n} \to A\) 当 \(n \to \infty\)。因此第二部分极限为 \(A\)。
公式：\left| \frac{1}{n} \int_M^n f(t) \, dt - A \right| < 2\varepsilon \quad (n \text{ 充分大})
提示：注意用三角不等式严格估计，最终得到极限为 A。
步骤 6/6
目标：合并两部分，得出最终极限
第一部分趋于0，第二部分趋于 \(A\)，因此
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \int_0^n f(t) \, dt = A
\]
即原极限为 \(A\)。
公式：\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f(nx) \, dx = A
提示：结果与函数在有限区间上的具体值无关，只取决于无穷远处的极限。
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