西安电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
15、 $f(x)$ 是 $C^{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ 上的连续可微函数，$\Omega$ 是光滑的简单闭区域，若
$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0,
$$
则 $f$ 称为 $\Omega$ 上的调和函数．
（1）证明： $\displaystyle \int_{\partial \Omega} \frac{\partial f}{\partial n} d s=\iint_{\Omega}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right) d \sigma$ ，其中 $n$ 是 $f$ 在 $\partial \Omega$ 上的单位外法向量．
（2）荐 $f$ 是 $\Omega$ 上的调和函数，且二阶连续可微，证明：
$$
f(x)=\frac{1}{2 \pi r} \int_{\partial B(x, r)} f(x) d s=\frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{H(x, r)} f(x) d \sigma
$$
其中 $B(x, r)$ 是任意闭球，$x \in \partial \Omega$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明散度定理（格林公式）在本题中的适用形式
设向量场 $\mathbf{F} = \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$，则 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = \nabla f \cdot \mathbf{n} = \frac{\partial f}{\partial n}$，其中 $\mathbf{n}$ 是 $\partial \Omega$ 上的单位外法向量。散度 $\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$。
公式：\int_{\partial \Omega} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, ds = \iint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, d\sigma
提示：注意二维散度定理即格林公式，要求 $\Omega$ 是光滑简单闭区域，$f \in C^2(\mathbb{R}^2)$ 保证散度可积。
步骤 2/6
目标：代入向量场并完成第一问证明
将 $\mathbf{F} = \nabla f$ 代入散度定理，左边为 $\int_{\partial \Omega} \frac{\partial f}{\partial n} ds$，右边为 $\iint_{\Omega} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right) d\sigma$，等式成立。
公式：\int_{\partial \Omega} \frac{\partial f}{\partial n} ds = \iint_{\Omega} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right) d\sigma
提示：此式本质是调和函数定义中拉普拉斯算子与边界通量的关系，无需额外条件。
步骤 3/6
目标：引入圆周平均值函数并作变量替换
设 $f$ 在 $\Omega$ 上调和（$\Delta f = 0$），取 $x \in \Omega$ 及 $r>0$ 使 $\overline{B}(x,r) \subset \Omega$。定义 $\phi(r) = \frac{1}{2\pi r} \int_{\partial B(x,r)} f(y) ds(y)$。令 $y = x + r\omega$，$\omega$ 为单位圆周上的点，$ds = r d\theta$，则 $\phi(r) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x + r\omega(\theta)) d\theta$。
公式：\phi(r) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x + r\omega) d\theta
提示：注意 $ds$ 是弧长微元，极坐标下 $ds = r d\theta$，$r$ 是常数。
步骤 4/6
目标：对 $\phi(r)$ 求导并利用调和性证明其为常数
$\phi'(r) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \nabla f(x+r\omega) \cdot \omega \, d\theta = \frac{1}{2\pi r} \int_{\partial B(x,r)} \frac{\partial f}{\partial n} ds$。由第一问结论及调和性 $\Delta f=0$，得 $\int_{\partial B(x,r)} \frac{\partial f}{\partial n} ds = \iint_{B(x,r)} \Delta f \, d\sigma = 0$，故 $\phi'(r)=0$，$\phi(r)$ 为常数。
公式：\phi'(r) = \frac{1}{2\pi r} \int_{\partial B(x,r)} \frac{\partial f}{\partial n} ds = 0
提示：求导时注意 $\frac{\partial}{\partial r} f(x+r\omega) = \nabla f \cdot \omega$，且外法向 $\mathbf{n} = \omega$。
步骤 5/6
目标：取极限得到圆周平均值公式
令 $r \to 0^+$，则 $f(x+r\omega) \to f(x)$ 一致，故 $\phi(r) = \lim_{r\to 0^+} \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x+r\omega) d\theta = f(x)$。因此 $f(x) = \frac{1}{2\pi r} \int_{\partial B(x,r)} f(y) ds(y)$。
公式：f(x) = \frac{1}{2\pi r} \int_{\partial B(x,r)} f(y) ds(y)
提示：极限交换次序由 $f$ 的连续性保证。
步骤 6/6
目标：由圆周平均值积分得到圆盘平均值公式
对 $r$ 从 $0$ 到 $R$ 积分：$\int_0^R \left( \int_{\partial B(x,\rho)} f(y) ds(y) \right) d\rho = \int_0^R 2\pi \rho \, f(x) d\rho = \pi R^2 f(x)$。左边等于 $\iint_{B(x,R)} f(y) d\sigma(y)$（极坐标下面积元 $d\sigma = \rho d\rho d\theta$），故 $f(x) = \frac{1}{\pi R^2} \iint_{B(x,R)} f(y) d\sigma(y)$。
公式：f(x) = \frac{1}{\pi r^2} \iint_{B(x,r)} f(y) d\sigma(y)
提示：注意积分次序交换：先对 $\rho$ 积分再对角度积分，与二重积分一致。
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