郑州大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln (2026 x) \ln \frac{\ln 2026 x}{\ln \frac{x}{2026}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析各部分的极限趋势
当 $x \to 0^+$ 时，$\ln(2026x) = \ln 2026 + \ln x$，由于 $\ln x \to -\infty$，所以 $\ln(2026x) \to -\infty$。同样地，$\ln \frac{x}{2026} = \ln x - \ln 2026 \to -\infty$。因此分式 $\frac{\ln(2026x)}{\ln(x/2026)}$ 的分子分母都趋于负无穷，且主导项均为 $\ln x$，故该比值趋于 $1$。
公式：\ln(2026x) = \ln x + \ln 2026, \quad \ln\frac{x}{2026} = \ln x - \ln 2026
提示：注意 $\ln x$ 是主导项，不要忽略常数项对后续展开的影响。
步骤 2/5
目标：变量代换简化表达式
令 $t = \ln x$，则当 $x \to 0^+$ 时，$t \to -\infty$。于是 $\ln(2026x) = t + \ln 2026$，$\ln\frac{x}{2026} = t - \ln 2026$。分式化为：
$$
\frac{t + \ln 2026}{t - \ln 2026} = 1 + \frac{2\ln 2026}{t - \ln 2026}.
$$
公式：\frac{t + \ln 2026}{t - \ln 2026} = 1 + \frac{2\ln 2026}{t - \ln 2026}
提示：代换后要明确 $t \to -\infty$，以便后续使用等价无穷小。
步骤 3/5
目标：对外层对数进行渐近展开
考虑 $\ln\left(\frac{t + \ln 2026}{t - \ln 2026}\right) = \ln\left(1 + \frac{2\ln 2026}{t - \ln 2026}\right)$。当 $t \to -\infty$ 时，$u = \frac{2\ln 2026}{t - \ln 2026} \to 0$，利用 $\ln(1+u) \sim u$，得：
$$
\ln\left(\frac{t + \ln 2026}{t - \ln 2026}\right) \sim \frac{2\ln 2026}{t - \ln 2026} \sim \frac{2\ln 2026}{t}.
$$
公式：\ln(1+u) \sim u \quad (u \to 0)
提示：注意 $t - \ln 2026 \sim t$，因为 $\ln 2026$ 是常数，在 $t \to -\infty$ 时可忽略。
步骤 4/5
目标：计算乘积并求极限
原极限为 $\lim_{x\to 0^+} \ln(2026x) \cdot \ln\left(\frac{\ln(2026x)}{\ln(x/2026)}\right)$。用 $t$ 表示：
$$
\ln(2026x) = t + \ln 2026 \sim t,
$$
第二个因子 $\sim \frac{2\ln 2026}{t}$。因此乘积：
$$
(t) \cdot \left(\frac{2\ln 2026}{t}\right) = 2\ln 2026.
$$
当 $t \to -\infty$ 时，该近似精确，故极限为 $2\ln 2026$。
公式：\lim_{x\to 0^+} \ln(2026x) \cdot \ln\left(\frac{\ln(2026x)}{\ln(x/2026)}\right) = 2\ln 2026
提示：确保乘积中主项相消后得到常数，避免遗漏高阶项。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
经过上述步骤，极限值为 $2\ln 2026$。
公式：\boxed{2\ln 2026}
提示：最终结果应化简为最简形式，无需进一步近似。
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