郑州大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8．（15 分）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．且每个函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．$\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件与待证结论
已知函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$，且每个 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上连续。点列 $\{x_n\}\subset[a,b]$ 满足 $\lim_{n\to\infty}x_n=x_0$。需要证明 $\lim_{n\to\infty}f_n(x_n)=f(x_0)$。
公式：$\lim_{n\to\infty}f_n(x_n)=f(x_0)$
提示：注意区分函数列的一致收敛性与点态收敛性，这里一致收敛是核心条件。
步骤 2/6
目标：由一致收敛性推出极限函数连续
由于 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$，且每个 $f_n$ 连续，根据一致收敛的性质，极限函数 $f$ 也在 $[a,b]$ 上连续。这是后续使用 $f$ 在 $x_0$ 处连续性的基础。
公式：$f$ 在 $[a,b]$ 上连续
提示：一致收敛保持连续性，但点态收敛不一定保持，此处必须强调一致收敛。
步骤 3/6
目标：利用三角不等式分解目标差值
考虑 $|f_n(x_n)-f(x_0)|$，将其分解为两项之和：
$$|f_n(x_n)-f(x_0)| \le |f_n(x_n)-f(x_n)| + |f(x_n)-f(x_0)|.$$
第一项由一致收敛控制，第二项由 $f$ 的连续性控制。
公式：$|f_n(x_n)-f(x_0)| \le |f_n(x_n)-f(x_n)| + |f(x_n)-f(x_0)|$
提示：三角不等式是处理此类极限问题的常用技巧，注意中间项 $f(x_n)$ 的引入。
步骤 4/6
目标：用一致收敛性控制第一项
对任意 $\varepsilon>0$，由一致收敛性，存在 $N_1\in\mathbb{N}$，使得当 $n>N_1$ 时，对所有 $x\in[a,b]$ 有 $|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$。特别地，取 $x=x_n$，则 $|f_n(x_n)-f(x_n)|<\frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$\forall\varepsilon>0,\exists N_1,\forall n>N_1,\forall x\in[a,b]:|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$
提示：一致收敛的 $N$ 与 $x$ 无关，这是关键优势。
步骤 5/6
目标：用极限函数的连续性控制第二项
由 $f$ 在 $x_0$ 处连续，且 $x_n\to x_0$，则存在 $N_2\in\mathbb{N}$，使得当 $n>N_2$ 时，$|f(x_n)-f(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$\forall\varepsilon>0,\exists N_2,\forall n>N_2:|f(x_n)-f(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2}$
提示：连续性定义中 $\delta$ 的存在性由 $x_n\to x_0$ 保证，这里直接取 $n$ 充分大即可。
步骤 6/6
目标：合并两个不等式完成证明
取 $N=\max\{N_1,N_2\}$，则当 $n>N$ 时，同时有 $|f_n(x_n)-f(x_n)|<\frac{\varepsilon}{2}$ 和 $|f(x_n)-f(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2}$。代入三角不等式得：
$$|f_n(x_n)-f(x_0)| \le |f_n(x_n)-f(x_n)| + |f(x_n)-f(x_0)| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$$
由极限定义，$\lim_{n\to\infty}f_n(x_n)=f(x_0)$。
公式：$|f_n(x_n)-f(x_0)|<\varepsilon$ 对任意 $n>N$ 成立
提示：注意 $N$ 取最大值，确保两个条件同时满足。
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