郑州大学 2026年数学分析第7题

用数学归纳法证明 $0 < x_n < 3$ 对所有 $n$ 成立。当 $n=0$ 时，$x_0 = \sqrt{6} \approx 2.449 < 3$，成立。假设 $0 < x_k < 3$，则 $x_{k+1} = \sqrt{6 + x_k} < \sqrt{6+3} = \sqrt{9} = 3$，且显然大于0，故对所有 $n$ 成立。

考虑 $x_{n+1}^2 - x_n^2 = (6 + x_n) - x_n^2 = -x_n^2 + x_n + 6$。由于 $x_n < 3$，二次函数 $-t^2 + t + 6$ 在区间 $(0,3)$ 上为正（根为 $-2$ 和 $3$，开口向下），故 $x_{n+1}^2 > x_n^2$，从而 $x_{n+1} > x_n$，数列严格递增。

由单调有界定理，数列收敛。设极限为 $L$，则 $L = \sqrt{6 + L}$，两边平方得 $L^2 = 6 + L$，即 $L^2 - L - 6 = 0$，解得 $L = 3$ 或 $L = -2$（舍去负根），故 $\lim_{n \to \infty} x_n = 3$。

级数为 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \sqrt{3 - x_n}$。由(1)知 $x_n \to 3^-$，故 $3 - x_n \to 0^+$，通项趋于0。又 $x_n$ 单调递增，则 $3 - x_n$ 单调递减，开方后 $\sqrt{3 - x_n}$ 也单调递减趋于0。满足莱布尼茨判别法条件，故原级数收敛。

考虑绝对值级数 $\sum_{n=1}^\infty \sqrt{3 - x_n}$。由递推关系 $x_{n+1} = \sqrt{6 + x_n}$ 得 $x_{n+1}^2 = 6 + x_n$，于是 $3 - x_{n+1} = 3 - \sqrt{6 + x_n}$。有理化：$3 - \sqrt{6 + x_n} = \frac{9 - (6 + x_n)}{3 + \sqrt{6 + x_n}} = \frac{3 - x_n}{3 + \sqrt{6 + x_n}}$。当 $n$ 充分大时，分母 $3 + \sqrt{6 + x_n} \to 6$，故 $3 - x_{n+1} \sim \frac{3 - x_n}{6}$，从而 $\sqrt{3 - x_{n+1}} \sim \frac{\sqrt{3 - x_n}}{\sqrt{6}}$。这表明 $\sqrt{3 - x_n}$ 以公比 $1/\sqrt{6} < 1$ 衰减，因此绝对值级数收敛（可用比值审敛法严格证明）。

原级数收敛，且绝对值级数也收敛，故级数绝对收敛。