郑州大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有二阶连续导数，证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使得
$$
\left|f(0)+f(1)-2 f\left(\frac{1}{2}\right)\right| \leq \frac{1}{4}\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right|
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题目结构，确定使用泰勒公式展开
设 $a=0$, $b=1$, $c=\frac{1}{2}$。要证明的不等式左边为 $|f(0)+f(1)-2f(\frac{1}{2})|$，该形式类似于二阶差商，与二阶导数有关。考虑将 $f(0)$ 和 $f(1)$ 在 $x=\frac{1}{2}$ 处分别用带拉格朗日余项的泰勒公式展开。
公式：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2} f''(\eta)(x-x_0)^2
提示：注意展开点选为 $\frac{1}{2}$，这样一阶项可以消去。
步骤 2/6
目标：对 f(0) 在 x=1/2 处展开
令 $h = \frac{1}{2}$，则 $0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$。由泰勒公式，存在 $\eta_1 \in (0, \frac{1}{2})$ 使得：
$$f(0) = f\left(\frac{1}{2}\right) + f'\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} f''(\eta_1)\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = f\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} f'\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{8} f''(\eta_1)$$
公式：f(0) = f\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} f'\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{8} f''(\eta_1)
提示：注意余项中 $(x-x_0)^2 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，再乘以 $\frac{1}{2}$ 得 $\frac{1}{8}$。
步骤 3/6
目标：对 f(1) 在 x=1/2 处展开
令 $h = \frac{1}{2}$，则 $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$。由泰勒公式，存在 $\eta_2 \in (\frac{1}{2}, 1)$ 使得：
$$f(1) = f\left(\frac{1}{2}\right) + f'\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} f''(\eta_2)\left(\frac{1}{2}\right)^2 = f\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} f'\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{8} f''(\eta_2)$$
公式：f(1) = f\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} f'\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{8} f''(\eta_2)
提示：注意 $\eta_2$ 在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内，与 $\eta_1$ 不同。
步骤 4/6
目标：将两式相加消去一阶导数项
将 $f(0)$ 和 $f(1)$ 的展开式相加：
$$f(0) + f(1) = 2f\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{8}\left[f''(\eta_1) + f''(\eta_2)\right]$$
移项得：
$$f(0) + f(1) - 2f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8}\left[f''(\eta_1) + f''(\eta_2)\right]$$
公式：f(0) + f(1) - 2f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8}\left[f''(\eta_1) + f''(\eta_2)\right]
提示：一阶导数项 $\pm \frac{1}{2}f'(\frac{1}{2})$ 正好抵消。
步骤 5/6
目标：利用介值定理构造 ξ
由于 $f''(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，而 $\eta_1 \in (0, \frac{1}{2})$，$\eta_2 \in (\frac{1}{2}, 1)$，由连续函数的介值定理，在 $\eta_1$ 与 $\eta_2$ 之间（从而在 $(0,1)$ 内）存在一点 $\xi$，使得：
$$f''(\xi) = \frac{f''(\eta_1) + f''(\eta_2)}{2}$$
公式：f''(\xi) = \frac{f''(\eta_1) + f''(\eta_2)}{2}
提示：介值定理要求函数连续，题目中二阶连续导数的条件保证了这一点。
步骤 6/6
目标：代入并取绝对值得到结论
将介值定理的结果代入前式：
$$f(0) + f(1) - 2f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} \cdot 2 f''(\xi) = \frac{1}{4} f''(\xi)$$
两边取绝对值，即得：
$$\left|f(0) + f(1) - 2f\left(\frac{1}{2}\right)\right| = \frac{1}{4} |f''(\xi)| \leq \frac{1}{4} |f''(\xi)|$$
原不等式得证，且等号可以取到。
公式：\left|f(0)+f(1)-2f\left(\frac{1}{2}\right)\right| = \frac{1}{4}\left|f''(\xi)\right|
提示：实际上等式成立，因此原不等式显然成立。注意 ξ 在 (0,1) 内。
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