重庆大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
一．计算数列极限
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\ln (1+n)-\ln n}-n\right)
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简对数差
利用对数性质：\(\ln(1+n)-\ln n = \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) = \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\)，原式化为：
\[\frac{1}{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)} - n\]
公式：\ln(1+n)-\ln n = \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)
提示：注意对数减法转化为真数除法，避免直接代入计算。
步骤 2/5
目标：变量代换
令 \(x = \frac{1}{n}\)，则当 \(n \to \infty\) 时，\(x \to 0^+\)。原极限转化为：
\[\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{\ln(1+x)} - \frac{1}{x} \right)\]
公式：x = \frac{1}{n}
提示：代换后注意极限过程为 \(x \to 0^+\)，且分母 \(\ln(1+x)\) 在 \(x=0\) 处连续。
步骤 3/5
目标：通分合并
将两个分式通分：
\[\frac{1}{\ln(1+x)} - \frac{1}{x} = \frac{x - \ln(1+x)}{x \ln(1+x)}\]
公式：\frac{1}{\ln(1+x)} - \frac{1}{x} = \frac{x - \ln(1+x)}{x \ln(1+x)}
提示：通分后分子分母均为无穷小量，需进一步展开处理。
步骤 4/5
目标：泰勒展开
当 \(x \to 0\) 时，对 \(\ln(1+x)\) 进行泰勒展开：
\[\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\]
代入分子和分母：
分子：\(x - \ln(1+x) = x - \left(x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)\right) = \frac{x^2}{2} + O(x^3)\)
分母：\(x \ln(1+x) = x\left(x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)\right) = x^2 - \frac{x^3}{2} + O(x^4)\)
公式：\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)
提示：展开时保留到二阶项即可，高阶项不影响极限结果。
步骤 5/5
目标：求极限
将展开结果代入分式：
\[\frac{x - \ln(1+x)}{x \ln(1+x)} = \frac{\frac{x^2}{2} + O(x^3)}{x^2 - \frac{x^3}{2} + O(x^4)} = \frac{\frac{1}{2} + O(x)}{1 - \frac{x}{2} + O(x^2)}\]
当 \(x \to 0\) 时，\(O(x) \to 0\)，\(\frac{x}{2} \to 0\)，故极限为 \(\frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\)。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} + O(x)}{1 - \frac{x}{2} + O(x^2)} = \frac{1}{2}
提示：注意分子分母同时除以 \(x^2\) 后，再取极限，避免直接代入导致未定式。
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