📝 重庆大学 2024年数学分析真题
第0题
一．计算数列极限
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\ln (1+n)-\ln n}-n\right)
$$
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\ln (1+n)-\ln n}-n\right)
$$
第0题
七．设参数 $\displaystyle \alpha>0$ ，讨论广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{\sin x} \sin (2 x)}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 的收玫性（包括条件收敛和绝对收敛）．
第0题
三．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(2 n-1)}$ 的和．
第0题
九．函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
（1）假设每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，并且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 一致收玫，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（2）假设每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积，并且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 一致收敛，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积．
（3）假设每个 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，存在常数 $\displaystyle M>0$ ，对任意的 $x$ 和正整数 $n$ ，都有 $\displaystyle \left|f_{n}^{\prime}(x)\right| \leq M$ ．证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（1）假设每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，并且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 一致收玫，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（2）假设每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积，并且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 一致收敛，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积．
（3）假设每个 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，存在常数 $\displaystyle M>0$ ，对任意的 $x$ 和正整数 $n$ ，都有 $\displaystyle \left|f_{n}^{\prime}(x)\right| \leq M$ ．证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
第0题
二．计算第一类曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 是立体 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1$ 的边界．
第0题
五．已知三元函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上具有连续的二阶偏导数，设 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中光滑简单封闭曲面的全体为 $\displaystyle \Sigma$ ，对于 $\displaystyle S \in \Sigma$ ，用 $\displaystyle \mathbf{n}$ 表示 $S$ 的外法线单位方向向量，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}$ 表示 $f$ 沿 $\displaystyle \mathbf{n}$ 的方向导数．
（1）证明：$f$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上满足
$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=0 \text { (即 } f \text { 为 } \mathbb{R}^{3} \text { 上的调和函数) }
$$
当且仅当 $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}} \mathrm{~d} S=0(\forall S \in \Sigma)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的调和函数，$\displaystyle S \in \Sigma$ ，且 $S$ 围成的有界闭区域记作 $V$ ．证明：
$$
f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{S}\left(f \frac{\cos (\mathbf{r}, \mathbf{n})}{|\mathbf{r}|^{2}}+\frac{1}{|\mathbf{r}|} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}\right) \mathrm{d} S
$$
其中 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为 $V$ 内部的一个定点， $\displaystyle \mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right),(\mathbf{r}, \mathbf{n})$ 表示两向量的夹角，$\displaystyle |\mathbf{r}|$表示向量 $\displaystyle \mathbf{r}$ 的模长．
（3）若函数 $f$ 和闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数 $g$ 在单位球 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 上满足
$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=g\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) .
$$
证明： $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{0}^{1} \sqrt{t}(t-1) g(t) \mathrm{d} t$ ．
（1）证明：$f$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上满足
$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=0 \text { (即 } f \text { 为 } \mathbb{R}^{3} \text { 上的调和函数) }
$$
当且仅当 $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}} \mathrm{~d} S=0(\forall S \in \Sigma)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的调和函数，$\displaystyle S \in \Sigma$ ，且 $S$ 围成的有界闭区域记作 $V$ ．证明：
$$
f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{S}\left(f \frac{\cos (\mathbf{r}, \mathbf{n})}{|\mathbf{r}|^{2}}+\frac{1}{|\mathbf{r}|} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}\right) \mathrm{d} S
$$
其中 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为 $V$ 内部的一个定点， $\displaystyle \mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right),(\mathbf{r}, \mathbf{n})$ 表示两向量的夹角，$\displaystyle |\mathbf{r}|$表示向量 $\displaystyle \mathbf{r}$ 的模长．
（3）若函数 $f$ 和闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数 $g$ 在单位球 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 上满足
$$
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=g\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) .
$$
证明： $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{0}^{1} \sqrt{t}(t-1) g(t) \mathrm{d} t$ ．
第0题
八．若函数 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 都在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上二阶可导，并且它们在 $\displaystyle (a, b)$ 内有相等的最大值，$\displaystyle f(a)=g(a), f(b)=g(b)$ ，求证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$ ．
第0题
六．判断下列四个命题的正误．正确的，请给出证明；错误的，需举出反例．
（1）若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1$ ．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续且有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．
（3）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点关于 $x$ 和 $y$ 都不存在偏导数，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 沿 $x$ 轴的方向导数必不存在．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界且只存在有限个不连续点，则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积．
（1）若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1$ ．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续且有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．
（3）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点关于 $x$ 和 $y$ 都不存在偏导数，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 沿 $x$ 轴的方向导数必不存在．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界且只存在有限个不连续点，则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积．
第0题
四．计算第二类曲线积分
$$
\int_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z
$$
其中 $L$ 是平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 与柱面 $\displaystyle |x|+|y|=1$ 的交线，从 $z$ 轴正方向往下看去，$L$ 是顺时针方向．
$$
\int_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z
$$
其中 $L$ 是平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 与柱面 $\displaystyle |x|+|y|=1$ 的交线，从 $z$ 轴正方向往下看去，$L$ 是顺时针方向．