重庆大学 2024年数学分析第0题

五．已知三元函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上具有连续的二阶偏导数，设 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中光滑简单封闭曲面的全体为 $\displaystyle \Sigma$ ，对于 $\displaystyle S \in \Sigma$ ，用 $\displaystyle \mathbf{n}$ 表示 $S$ 的外法线单位方向向量，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}$ 表示 $f$ 沿 $\displaystyle \mathbf{n}$ 的方向导数． （1）证明：$f$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=0 \text { (即 } f \text { 为 } \mathbb{R}^{3} \text { 上的调和函数) } $$ 当且仅当 $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}} \mathrm{~d} S=0(\forall S \in \Sigma)$ ． （2）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的调和函数，$\displaystyle S \in \Sigma$ ，且 $S$ 围成的有界闭区域记作 $V$ ．证明： $$ f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{S}\left(f \frac{\cos (\mathbf{r}, \mathbf{n})}{|\mathbf{r}|^{2}}+\frac{1}{|\mathbf{r}|} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}\right) \mathrm{d} S $$ 其中 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为 $V$ 内部的一个定点， $\displaystyle \mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right),(\mathbf{r}, \mathbf{n})$ 表示两向量的夹角，$\displaystyle |\mathbf{r}|$表示向量 $\displaystyle \mathbf{r}$ 的模长． （3）若函数 $f$ 和闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数 $g$ 在单位球 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=g\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) . $$ 证明： $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{0}^{1} \sqrt{t}(t-1) g(t) \mathrm{d} t$ ．