重庆大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
三．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(2 n-1)}$ 的和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将一般项分解为部分分式
设 $\frac{1}{n(2n-1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{2n-1}$，两边乘以 $n(2n-1)$ 得 $1 = A(2n-1) + B n$。比较系数：常数项 $-A = 1 \Rightarrow A = -1$；$n$ 的系数 $2A + B = 0 \Rightarrow -2 + B = 0 \Rightarrow B = 2$。因此 $\frac{1}{n(2n-1)} = -\frac{1}{n} + \frac{2}{2n-1}$。原级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left( -\frac{1}{n} + \frac{2}{2n-1} \right) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} + 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n-1}$。
公式：\frac{1}{n(2n-1)} = -\frac{1}{n} + \frac{2}{2n-1}
提示：注意部分分式分解时，分母为线性因式，待定系数法要仔细比较常数项和一次项系数。
步骤 2/4
目标：求第一个级数 $-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ 的和
已知交错调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = -\ln 2$。因此 $-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} = -(-\ln 2) = \ln 2$。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2
提示：注意交错调和级数的符号：$(-1)^n$ 与 $(-1)^{n-1}$ 相差一个负号，不要混淆。
步骤 3/4
目标：求第二个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n-1}$ 的和
利用反正切函数的泰勒展开：$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$，令 $x=1$ 得 $\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$。而所求级数从 $n=1$ 开始，分母为 $2n-1$，即 $n=1$ 对应 $1$，$n=2$ 对应 $3$，…，故 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n-1} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1} = -\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = -\frac{\pi}{4}$。
公式：\arctan 1 = \frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}
提示：注意下标变换：将 $n$ 替换为 $k+1$ 时，分母 $2n-1$ 变为 $2k+1$，同时 $(-1)^n$ 变为 $(-1)^{k+1}$，不要漏掉符号。
步骤 4/4
目标：合并两部分得到原级数的和
原级数 $= \ln 2 + 2 \times \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \ln 2 - \frac{\pi}{2}$。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(2n-1)} = \ln 2 - \frac{\pi}{2}
提示：最终结果要化简，注意 $2 \times (-\pi/4) = -\pi/2$。
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