重庆大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
六．判断下列四个命题的正误．正确的，请给出证明；错误的，需举出反例．
（1）若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1$ ．
（2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续且有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．
（3）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点关于 $x$ 和 $y$ 都不存在偏导数，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 沿 $x$ 轴的方向导数必不存在．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界且只存在有限个不连续点，则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断命题（1）的正误
命题（1）：若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=1$。\n该命题错误。反例：取 $a_n = \begin{cases} \frac{1}{2^n}, & n \text{为偶数} \\ \frac{1}{3^n}, & n \text{为奇数} \end{cases}$。该级数为正项且收敛（因为通项小于等于 $\frac{1}{2^n}$ 的倍数）。但当 $n$ 为奇数时，$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1/2^{n+1}}{1/3^n} = \frac{3^n}{2^{n+1}} \to \infty$，极限不为1，甚至不存在有限极限。
公式：\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^n}{2^{n+1}} \to \infty
提示：注意比值判别法的逆命题不成立，收敛级数的比值极限不一定为1。
步骤 2/4
目标：判断命题（2）的正误
命题（2）：若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续且有界，则 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。\n该命题错误。反例：取 $f(x)=\sin(x^2)$。它在 $\mathbb{R}$ 上连续且有界（$|f(x)|\leq 1$），但不是一致连续的。取 $x_n = \sqrt{2n\pi+\frac{\pi}{2}}$，$y_n = \sqrt{2n\pi}$，则当 $n \to \infty$ 时，$|x_n - y_n| \to 0$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|=1$，不满足一致连续定义。
公式：|x_n - y_n| \to 0, \quad |f(x_n)-f(y_n)|=1
提示：有界连续函数在无限区间上不一定一致连续，关键在于振荡速度是否随自变量增大而加快。
步骤 3/4
目标：判断命题（3）的正误
命题（3）：若二元函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点关于 $x$ 和 $y$ 都不存在偏导数，则 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 沿 $x$ 轴的方向导数必不存在。\n该命题错误。反例：定义 $f(x,y) = \begin{cases} x, & y=x^2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。在原点沿 $x$ 轴方向（$y=0$），除原点外函数值为0，故方向导数 $\lim_{t\to 0}\frac{f(t,0)-0}{t}=0$ 存在。但关于 $x$ 的偏导数：沿路径 $y=x^2$ 差商为 $\frac{t-0}{t}=1$，沿 $y=0$ 为0，故极限不存在；关于 $y$ 的偏导数也不存在。
公式：\lim_{t\to 0}\frac{f(t,0)-0}{t}=0
提示：方向导数存在只要求沿特定直线方向，而偏导数存在要求沿坐标轴双向极限，两者条件不同。
步骤 4/4
目标：判断命题（4）的正误
命题（4）：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有界且只存在有限个不连续点，则函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积。\n该命题正确。证明思路：Riemann可积的充要条件是函数有界且不连续点集为零测集。有限个不连续点构成零测集，因此可积。具体地，对任意 $\varepsilon>0$，在不连续点附近用总长度小于 $\varepsilon/(2M)$ 的小区间覆盖（$M$ 为界），其余部分连续从而一致连续，可控制振幅和小于 $\varepsilon/2$，总振幅和小于 $\varepsilon$，满足可积条件。
公式：\text{不连续点集为零测集} \Rightarrow \text{Riemann可积}
提示：注意有界且不连续点集测度为0是Riemann可积的充要条件，有限个点显然测度为0。
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